Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15410 / 19054
↖ ↑ ↗
← S 28.130128°
W 10.700684°		 ← 1 077.34 m → S 28.130128°
W 10.689697°		 →
↑
1 077.27 m
↓
↑
1 077.27 m
↓
S 28.139816°
W 10.700684°		 ← 1 077.24 m →
1 160 534 m²		 S 28.139816°
W 10.689697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470291137695312 y=0.581497192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470291137695312 × 215)
    floor (0.470291137695312 × 32768)
    floor (15410.5)     		tx = 15410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581497192382812 × 215)
    floor (0.581497192382812 × 32768)
    floor (19054.5)     		ty = 19054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15410 / 19054 ti = "15/15410/19054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15410/19054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15410 ÷ 215
    15410 ÷ 32768     		x = 0.47027587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19054 ÷ 215
    19054 ÷ 32768     		y = 0.58148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18676216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58148193359375 × 2 - 1) × π
    -0.1629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.5119660879422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18676216} λ = -0.18676216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5119660879422))-π/2
    2×atan(0.599316111543543)-π/2
    2×0.539916489387658-π/2
    1.07983297877532-1.57079632675     		φ = -0.49096335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18676216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49096335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.130128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15410 KachelY 19054 -0.18676216 -0.49096335 -10.700684 -28.130128
    Oben rechts KachelX + 1 15411 KachelY 19054 -0.18657041 -0.49096335 -10.689697 -28.130128
    Unten links KachelX 15410 KachelY + 1 19055 -0.18676216 -0.49113244 -10.700684 -28.139816
    Unten rechts KachelX + 1 15411 KachelY + 1 19055 -0.18657041 -0.49113244 -10.689697 -28.139816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49096335--0.49113244) × R
    0.000169089999999983 × 6371000     		dl = 1077.27238999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49096335--0.49113244) × R
    0.000169089999999983 × 6371000     		dr = 1077.27238999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18676216--0.18657041) × cos(-0.49096335) × R
    0.000191750000000018 × 0.881879071809394 × 6371000     		do = 1077.33808787603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18676216--0.18657041) × cos(-0.49113244) × R
    0.000191750000000018 × 0.881799337382485 × 6371000     		du = 1077.24068117054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49096335)-sin(-0.49113244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881879071809394-0.881799337382485)×R²
    abs(-0.18657041--0.18676216)×7.97344269091171e-05×R²
    0.000191750000000018×7.97344269091171e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.97344269091171e-05×40589641000000     		ar = 1160534.11275222m²