Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1541 / 2507
↖ ↑ ↗
← S 37.370157°
W 44.560547°		 ← 7 766.89 m → S 37.370157°
W 44.472656°		 →
↑
7 763.32 m
↓
↑
7 763.32 m
↓
S 37.439974°
W 44.560547°		 ← 7 759.66 m →
60 268 799 m²		 S 37.439974°
W 44.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3763427734375 y=0.6121826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3763427734375 × 212)
    floor (0.3763427734375 × 4096)
    floor (1541.5)     		tx = 1541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6121826171875 × 212)
    floor (0.6121826171875 × 4096)
    floor (2507.5)     		ty = 2507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1541 / 2507 ti = "12/1541/2507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1541/2507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1541 ÷ 212
    1541 ÷ 4096     		x = 0.376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2507 ÷ 212
    2507 ÷ 4096     		y = 0.612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.22412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.704097181619385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77772826} λ = -0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704097181619385))-π/2
    2×atan(0.494554865988876)-π/2
    2×0.459282020980637-π/2
    0.918564041961274-1.57079632675     		φ = -0.65223228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65223228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.370157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1541 KachelY 2507 -0.77772826 -0.65223228 -44.560547 -37.370157
    Oben rechts KachelX + 1 1542 KachelY 2507 -0.77619428 -0.65223228 -44.472656 -37.370157
    Unten links KachelX 1541 KachelY + 1 2508 -0.77772826 -0.65345082 -44.560547 -37.439974
    Unten rechts KachelX + 1 1542 KachelY + 1 2508 -0.77619428 -0.65345082 -44.472656 -37.439974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65223228--0.65345082) × R
    0.00121853999999999 × 6371000     		dl = 7763.31833999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65223228--0.65345082) × R
    0.00121853999999999 × 6371000     		dr = 7763.31833999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77772826--0.77619428) × cos(-0.65223228) × R
    0.00153397999999993 × 0.794730870689821 × 6371000     		do = 7766.89413396301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77772826--0.77619428) × cos(-0.65345082) × R
    0.00153397999999993 × 0.793990673399832 × 6371000     		du = 7759.66019578139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65223228)-sin(-0.65345082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794730870689821-0.793990673399832)×R²
    abs(-0.77619428--0.77772826)×0.000740197289988975×R²
    0.00153397999999993×0.000740197289988975×6371000²
    0.00153397999999993×0.000740197289988975×40589641000000     		ar = 60268799.4500182m²