Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15408 / 8656
↖ ↑ ↗
← N 64.396938°
W 10.722656°		 ← 527.91 m → N 64.396938°
W 10.711670°		 →
↑
527.96 m
↓
↑
527.96 m
↓
N 64.392190°
W 10.722656°		 ← 528 m →
278 743 m²		 N 64.392190°
W 10.711670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470230102539062 y=0.264175415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470230102539062 × 215)
    floor (0.470230102539062 × 32768)
    floor (15408.5)     		tx = 15408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264175415039062 × 215)
    floor (0.264175415039062 × 32768)
    floor (8656.5)     		ty = 8656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15408 / 8656 ti = "15/15408/8656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15408/8656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15408 ÷ 215
    15408 ÷ 32768     		x = 0.47021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8656 ÷ 215
    8656 ÷ 32768     		y = 0.26416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47021484375 × 2 - 1) × π
    -0.0595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18714566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26416015625 × 2 - 1) × π
    0.4716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48182544105518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18714566} λ = -0.18714566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48182544105518))-π/2
    2×atan(4.40097206793724)-π/2
    2×1.34736745963135-π/2
    2.69473491926271-1.57079632675     		φ = 1.12393859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18714566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12393859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.396938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15408 KachelY 8656 -0.18714566 1.12393859 -10.722656 64.396938
    Oben rechts KachelX + 1 15409 KachelY 8656 -0.18695391 1.12393859 -10.711670 64.396938
    Unten links KachelX 15408 KachelY + 1 8657 -0.18714566 1.12385572 -10.722656 64.392190
    Unten rechts KachelX + 1 15409 KachelY + 1 8657 -0.18695391 1.12385572 -10.711670 64.392190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12393859-1.12385572) × R
    8.28700000001792e-05 × 6371000     		dl = 527.964770001142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12393859-1.12385572) × R
    8.28700000001792e-05 × 6371000     		dr = 527.964770001142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18714566--0.18695391) × cos(1.12393859) × R
    0.000191749999999991 × 0.432133949586091 × 6371000     		do = 527.911794071864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18714566--0.18695391) × cos(1.12385572) × R
    0.000191749999999991 × 0.432208681049716 × 6371000     		du = 528.003088961039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12393859)-sin(1.12385572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432133949586091-0.432208681049716)×R²
    abs(-0.18695391--0.18714566)×7.47314636249108e-05×R²
    0.000191749999999991×7.47314636249108e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.47314636249108e-05×40589641000000     		ar = 278742.92934031m²