Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15406 / 8657
↖ ↑ ↗
← N 64.392190°
W 10.744629°		 ← 528 m → N 64.392190°
W 10.733642°		 →
↑
528.03 m
↓
↑
528.03 m
↓
N 64.387441°
W 10.744629°		 ← 528.09 m →
278 825 m²		 N 64.387441°
W 10.733642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470169067382812 y=0.264205932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470169067382812 × 215)
    floor (0.470169067382812 × 32768)
    floor (15406.5)     		tx = 15406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264205932617188 × 215)
    floor (0.264205932617188 × 32768)
    floor (8657.5)     		ty = 8657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15406 / 8657 ti = "15/15406/8657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15406/8657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15406 ÷ 215
    15406 ÷ 32768     		x = 0.47015380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8657 ÷ 215
    8657 ÷ 32768     		y = 0.264190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.0596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18752915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264190673828125 × 2 - 1) × π
    0.47161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4816336934567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18752915} λ = -0.18752915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4816336934567))-π/2
    2×atan(4.40012827301264)-π/2
    2×1.34732602572582-π/2
    2.69465205145164-1.57079632675     		φ = 1.12385572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18752915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.744629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12385572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.392190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15406 KachelY 8657 -0.18752915 1.12385572 -10.744629 64.392190
    Oben rechts KachelX + 1 15407 KachelY 8657 -0.18733740 1.12385572 -10.733642 64.392190
    Unten links KachelX 15406 KachelY + 1 8658 -0.18752915 1.12377284 -10.744629 64.387441
    Unten rechts KachelX + 1 15407 KachelY + 1 8658 -0.18733740 1.12377284 -10.733642 64.387441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12385572-1.12377284) × R
    8.28799999998964e-05 × 6371000     		dl = 528.02847999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12385572-1.12377284) × R
    8.28799999998964e-05 × 6371000     		dr = 528.02847999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18752915--0.18733740) × cos(1.12385572) × R
    0.000191750000000018 × 0.432208681049716 × 6371000     		do = 528.003088961115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18752915--0.18733740) × cos(1.12377284) × R
    0.000191750000000018 × 0.432283418562553 × 6371000     		du = 528.094391240244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12385572)-sin(1.12377284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432208681049716-0.432283418562553)×R²
    abs(-0.18733740--0.18752915)×7.47375128367644e-05×R²
    0.000191750000000018×7.47375128367644e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.47375128367644e-05×40589641000000     		ar = 278824.773760617m²