Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15405 / 3162
↖ ↑ ↗
← N 73.465983°
E158.488770°		 ← 695.30 m → N 73.465983°
E158.510742°		 →
↑
695.46 m
↓
↑
695.46 m
↓
N 73.459729°
E158.488770°		 ← 695.56 m →
483 642 m²		 N 73.459729°
E158.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940277099609375 y=0.193023681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940277099609375 × 214)
    floor (0.940277099609375 × 16384)
    floor (15405.5)     		tx = 15405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193023681640625 × 214)
    floor (0.193023681640625 × 16384)
    floor (3162.5)     		ty = 3162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15405 / 3162 ti = "14/15405/3162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15405/3162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15405 ÷ 214
    15405 ÷ 16384     		x = 0.94024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3162 ÷ 214
    3162 ÷ 16384     		y = 0.1929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94024658203125 × 2 - 1) × π
    0.8804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76615086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1929931640625 × 2 - 1) × π
    0.614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92898084071106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76615086} λ = 2.76615086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92898084071106))-π/2
    2×atan(6.88249231002485)-π/2
    2×1.42650981369931-π/2
    2.85301962739862-1.57079632675     		φ = 1.28222330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76615086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.488770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28222330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.465983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15405 KachelY 3162 2.76615086 1.28222330 158.488770 73.465983
    Oben rechts KachelX + 1 15406 KachelY 3162 2.76653435 1.28222330 158.510742 73.465983
    Unten links KachelX 15405 KachelY + 1 3163 2.76615086 1.28211414 158.488770 73.459729
    Unten rechts KachelX + 1 15406 KachelY + 1 3163 2.76653435 1.28211414 158.510742 73.459729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28222330-1.28211414) × R
    0.000109160000000053 × 6371000     		dl = 695.458360000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28222330-1.28211414) × R
    0.000109160000000053 × 6371000     		dr = 695.458360000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76615086-2.76653435) × cos(1.28222330) × R
    0.000383489999999931 × 0.284584546099161 × 6371000     		do = 695.301172034782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76615086-2.76653435) × cos(1.28211414) × R
    0.000383489999999931 × 0.284689190740669 × 6371000     		du = 695.556841370609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28222330)-sin(1.28211414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284584546099161-0.284689190740669)×R²
    abs(2.76653435-2.76615086)×0.000104644641508056×R²
    0.000383489999999931×0.000104644641508056×6371000²
    0.000383489999999931×0.000104644641508056×40589641000000     		ar = 483641.916979075m²