Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15405 / 3157
↖ ↑ ↗
← N 73.497220°
E158.488770°		 ← 694.02 m → N 73.497220°
E158.510742°		 →
↑
694.12 m
↓
↑
694.12 m
↓
N 73.490978°
E158.488770°		 ← 694.28 m →
481 825 m²		 N 73.490978°
E158.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940277099609375 y=0.192718505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940277099609375 × 214)
    floor (0.940277099609375 × 16384)
    floor (15405.5)     		tx = 15405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192718505859375 × 214)
    floor (0.192718505859375 × 16384)
    floor (3157.5)     		ty = 3157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15405 / 3157 ti = "14/15405/3157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15405/3157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15405 ÷ 214
    15405 ÷ 16384     		x = 0.94024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3157 ÷ 214
    3157 ÷ 16384     		y = 0.19268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94024658203125 × 2 - 1) × π
    0.8804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76615086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19268798828125 × 2 - 1) × π
    0.6146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93089831669586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76615086} λ = 2.76615086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93089831669586))-π/2
    2×atan(6.89570198431417)-π/2
    2×1.42678240508747-π/2
    2.85356481017493-1.57079632675     		φ = 1.28276848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76615086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.488770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28276848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.497220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15405 KachelY 3157 2.76615086 1.28276848 158.488770 73.497220
    Oben rechts KachelX + 1 15406 KachelY 3157 2.76653435 1.28276848 158.510742 73.497220
    Unten links KachelX 15405 KachelY + 1 3158 2.76615086 1.28265953 158.488770 73.490978
    Unten rechts KachelX + 1 15406 KachelY + 1 3158 2.76653435 1.28265953 158.510742 73.490978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28276848-1.28265953) × R
    0.000108949999999997 × 6371000     		dl = 694.120449999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28276848-1.28265953) × R
    0.000108949999999997 × 6371000     		dr = 694.120449999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76615086-2.76653435) × cos(1.28276848) × R
    0.000383489999999931 × 0.284061866510068 × 6371000     		do = 694.024153532279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76615086-2.76653435) × cos(1.28265953) × R
    0.000383489999999931 × 0.284166326732547 × 6371000     		du = 694.279372292806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28276848)-sin(1.28265953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284061866510068-0.284166326732547)×R²
    abs(2.76653435-2.76615086)×0.00010446022247862×R²
    0.000383489999999931×0.00010446022247862×6371000²
    0.000383489999999931×0.00010446022247862×40589641000000     		ar = 481824.934518015m²