Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15405 / 3147
↖ ↑ ↗
← N 73.559522°
E158.488770°		 ← 691.48 m → N 73.559522°
E158.510742°		 →
↑
691.64 m
↓
↑
691.64 m
↓
N 73.553302°
E158.488770°		 ← 691.73 m →
478 338 m²		 N 73.553302°
E158.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940277099609375 y=0.192108154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940277099609375 × 214)
    floor (0.940277099609375 × 16384)
    floor (15405.5)     		tx = 15405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192108154296875 × 214)
    floor (0.192108154296875 × 16384)
    floor (3147.5)     		ty = 3147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15405 / 3147 ti = "14/15405/3147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15405/3147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15405 ÷ 214
    15405 ÷ 16384     		x = 0.94024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3147 ÷ 214
    3147 ÷ 16384     		y = 0.19207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94024658203125 × 2 - 1) × π
    0.8804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76615086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19207763671875 × 2 - 1) × π
    0.6158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93473326866547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76615086} λ = 2.76615086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93473326866547))-π/2
    2×atan(6.92219744215277)-π/2
    2×1.42732608661686-π/2
    2.85465217323372-1.57079632675     		φ = 1.28385585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76615086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.488770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28385585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.559522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15405 KachelY 3147 2.76615086 1.28385585 158.488770 73.559522
    Oben rechts KachelX + 1 15406 KachelY 3147 2.76653435 1.28385585 158.510742 73.559522
    Unten links KachelX 15405 KachelY + 1 3148 2.76615086 1.28374729 158.488770 73.553302
    Unten rechts KachelX + 1 15406 KachelY + 1 3148 2.76653435 1.28374729 158.510742 73.553302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28385585-1.28374729) × R
    0.000108559999999924 × 6371000     		dl = 691.635759999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28385585-1.28374729) × R
    0.000108559999999924 × 6371000     		dr = 691.635759999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76615086-2.76653435) × cos(1.28385585) × R
    0.000383489999999931 × 0.283019121952534 × 6371000     		do = 691.47650460712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76615086-2.76653435) × cos(1.28374729) × R
    0.000383489999999931 × 0.283123241729395 × 6371000     		du = 691.730891585877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28385585)-sin(1.28374729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283019121952534-0.283123241729395)×R²
    abs(2.76653435-2.76615086)×0.000104119776860701×R²
    0.000383489999999931×0.000104119776860701×6371000²
    0.000383489999999931×0.000104119776860701×40589641000000     		ar = 478337.849821947m²