Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15405 / 10213
↖ ↑ ↗
← N 55.943048°
W 10.755615°		 ← 684.14 m → N 55.943048°
W 10.744629°		 →
↑
684.18 m
↓
↑
684.18 m
↓
N 55.936895°
W 10.755615°		 ← 684.25 m →
468 112 m²		 N 55.936895°
W 10.744629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470138549804688 y=0.311691284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470138549804688 × 215)
    floor (0.470138549804688 × 32768)
    floor (15405.5)     		tx = 15405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311691284179688 × 215)
    floor (0.311691284179688 × 32768)
    floor (10213.5)     		ty = 10213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15405 / 10213 ti = "15/15405/10213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15405/10213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15405 ÷ 215
    15405 ÷ 32768     		x = 0.470123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10213 ÷ 215
    10213 ÷ 32768     		y = 0.311676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.05975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18772090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311676025390625 × 2 - 1) × π
    0.37664794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18327443022147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18772090} λ = -0.18772090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18327443022147))-π/2
    2×atan(3.26504788971609)-π/2
    2×1.27359335211146-π/2
    2.54718670422292-1.57079632675     		φ = 0.97639038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18772090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.755615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97639038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.943048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15405 KachelY 10213 -0.18772090 0.97639038 -10.755615 55.943048
    Oben rechts KachelX + 1 15406 KachelY 10213 -0.18752915 0.97639038 -10.744629 55.943048
    Unten links KachelX 15405 KachelY + 1 10214 -0.18772090 0.97628299 -10.755615 55.936895
    Unten rechts KachelX + 1 15406 KachelY + 1 10214 -0.18752915 0.97628299 -10.744629 55.936895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97639038-0.97628299) × R
    0.000107390000000041 × 6371000     		dl = 684.181690000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97639038-0.97628299) × R
    0.000107390000000041 × 6371000     		dr = 684.181690000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18772090--0.18752915) × cos(0.97639038) × R
    0.000191749999999991 × 0.560016691356097 × 6371000     		do = 684.13837081571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18772090--0.18752915) × cos(0.97628299) × R
    0.000191749999999991 × 0.56010565873616 × 6371000     		du = 684.247056859164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97639038)-sin(0.97628299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560016691356097-0.56010565873616)×R²
    abs(-0.18752915--0.18772090)×8.89673800625879e-05×R²
    0.000191749999999991×8.89673800625879e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.89673800625879e-05×40589641000000     		ar = 468112.127688928m²