Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15402 / 3161
↖ ↑ ↗
← N 73.472236°
E158.422852°		 ← 695.06 m → N 73.472236°
E158.444824°		 →
↑
695.20 m
↓
↑
695.20 m
↓
N 73.465983°
E158.422852°		 ← 695.32 m →
483 300 m²		 N 73.465983°
E158.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940093994140625 y=0.192962646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940093994140625 × 214)
    floor (0.940093994140625 × 16384)
    floor (15402.5)     		tx = 15402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192962646484375 × 214)
    floor (0.192962646484375 × 16384)
    floor (3161.5)     		ty = 3161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15402 / 3161 ti = "14/15402/3161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15402/3161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15402 ÷ 214
    15402 ÷ 16384     		x = 0.9400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3161 ÷ 214
    3161 ÷ 16384     		y = 0.19293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9400634765625 × 2 - 1) × π
    0.880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76500037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19293212890625 × 2 - 1) × π
    0.6141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92936433590802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76500037} λ = 2.76500037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92936433590802))-π/2
    2×atan(6.88513221893271)-π/2
    2×1.42656437207289-π/2
    2.85312874414577-1.57079632675     		φ = 1.28233242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76500037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28233242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.472236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15402 KachelY 3161 2.76500037 1.28233242 158.422852 73.472236
    Oben rechts KachelX + 1 15403 KachelY 3161 2.76538387 1.28233242 158.444824 73.472236
    Unten links KachelX 15402 KachelY + 1 3162 2.76500037 1.28222330 158.422852 73.465983
    Unten rechts KachelX + 1 15403 KachelY + 1 3162 2.76538387 1.28222330 158.444824 73.465983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28233242-1.28222330) × R
    0.000109119999999852 × 6371000     		dl = 695.203519999054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28233242-1.28222330) × R
    0.000109119999999852 × 6371000     		dr = 695.203519999054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76500037-2.76538387) × cos(1.28233242) × R
    0.00038349999999987 × 0.284479936413851 × 6371000     		do = 695.063712321093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76500037-2.76538387) × cos(1.28222330) × R
    0.00038349999999987 × 0.284584546099161 × 6371000     		du = 695.319302916104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28233242)-sin(1.28222330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284479936413851-0.284584546099161)×R²
    abs(2.76538387-2.76500037)×0.000104609685310397×R²
    0.00038349999999987×0.000104609685310397×6371000²
    0.00038349999999987×0.000104609685310397×40589641000000     		ar = 483299.583649153m²