Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15402 / 3145
↖ ↑ ↗
← N 73.571954°
E158.422852°		 ← 690.99 m → N 73.571954°
E158.444824°		 →
↑
691.13 m
↓
↑
691.13 m
↓
N 73.565739°
E158.422852°		 ← 691.24 m →
477 646 m²		 N 73.565739°
E158.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940093994140625 y=0.191986083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940093994140625 × 214)
    floor (0.940093994140625 × 16384)
    floor (15402.5)     		tx = 15402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191986083984375 × 214)
    floor (0.191986083984375 × 16384)
    floor (3145.5)     		ty = 3145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15402 / 3145 ti = "14/15402/3145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15402/3145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15402 ÷ 214
    15402 ÷ 16384     		x = 0.9400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3145 ÷ 214
    3145 ÷ 16384     		y = 0.19195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9400634765625 × 2 - 1) × π
    0.880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76500037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19195556640625 × 2 - 1) × π
    0.6160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93550025905939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76500037} λ = 2.76500037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93550025905939))-π/2
    2×atan(6.92750873769168)-π/2
    2×1.4274345831796-π/2
    2.8548691663592-1.57079632675     		φ = 1.28407284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76500037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28407284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.571954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15402 KachelY 3145 2.76500037 1.28407284 158.422852 73.571954
    Oben rechts KachelX + 1 15403 KachelY 3145 2.76538387 1.28407284 158.444824 73.571954
    Unten links KachelX 15402 KachelY + 1 3146 2.76500037 1.28396436 158.422852 73.565739
    Unten rechts KachelX + 1 15403 KachelY + 1 3146 2.76538387 1.28396436 158.444824 73.565739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28407284-1.28396436) × R
    0.000108480000000188 × 6371000     		dl = 691.1260800012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28407284-1.28396436) × R
    0.000108480000000188 × 6371000     		dr = 691.1260800012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76500037-2.76538387) × cos(1.28407284) × R
    0.00038349999999987 × 0.282810997086504 × 6371000     		do = 690.986028744783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76500037-2.76538387) × cos(1.28396436) × R
    0.00038349999999987 × 0.282915046797464 × 6371000     		du = 691.240251166504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28407284)-sin(1.28396436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282810997086504-0.282915046797464)×R²
    abs(2.76538387-2.76500037)×0.000104049710960619×R²
    0.00038349999999987×0.000104049710960619×6371000²
    0.00038349999999987×0.000104049710960619×40589641000000     		ar = 477646.315723056m²