Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1540 / 1611
↖ ↑ ↗
← S 71.244356°
E 90.703125°		 ← 6 284.67 m → S 71.244356°
E 90.878906°		 →
↑
6 275.56 m
↓
↑
6 275.56 m
↓
S 71.300793°
E 90.703125°		 ← 6 266.44 m →
39 382 631 m²		 S 71.300793°
E 90.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752197265625 y=0.786865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752197265625 × 211)
    floor (0.752197265625 × 2048)
    floor (1540.5)     		tx = 1540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786865234375 × 211)
    floor (0.786865234375 × 2048)
    floor (1611.5)     		ty = 1611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1540 / 1611 ti = "11/1540/1611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1540/1611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1540 ÷ 211
    1540 ÷ 2048     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1611 ÷ 211
    1611 ÷ 2048     		y = 0.78662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78662109375 × 2 - 1) × π
    -0.5732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80089344492627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80089344492627))-π/2
    2×atan(0.165151268723353)-π/2
    2×0.16367387482318-π/2
    0.32734774964636-1.57079632675     		φ = -1.24344858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24344858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.244356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1540 KachelY 1611 1.58306817 -1.24344858 90.703125 -71.244356
    Oben rechts KachelX + 1 1541 KachelY 1611 1.58613613 -1.24344858 90.878906 -71.244356
    Unten links KachelX 1540 KachelY + 1 1612 1.58306817 -1.24443360 90.703125 -71.300793
    Unten rechts KachelX + 1 1541 KachelY + 1 1612 1.58613613 -1.24443360 90.878906 -71.300793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24344858--1.24443360) × R
    0.000985020000000114 × 6371000     		dl = 6275.56242000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24344858--1.24443360) × R
    0.000985020000000114 × 6371000     		dr = 6275.56242000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58613613) × cos(-1.24344858) × R
    0.00306796000000009 × 0.321532747767724 × 6371000     		do = 6284.67045792917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58613613) × cos(-1.24443360) × R
    0.00306796000000009 × 0.320599878012355 × 6371000     		du = 6266.43661072896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24344858)-sin(-1.24443360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321532747767724-0.320599878012355)×R²
    abs(1.58613613-1.58306817)×0.000932869755368548×R²
    0.00306796000000009×0.000932869755368548×6371000²
    0.00306796000000009×0.000932869755368548×40589641000000     		ar = 39382631.1090376m²