Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15399 / 3129
↖ ↑ ↗
← N 73.671088°
E158.356933°		 ← 686.93 m → N 73.671088°
E158.378906°		 →
↑
687.05 m
↓
↑
687.05 m
↓
N 73.664909°
E158.356933°		 ← 687.18 m →
472 041 m²		 N 73.664909°
E158.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939910888671875 y=0.191009521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939910888671875 × 214)
    floor (0.939910888671875 × 16384)
    floor (15399.5)     		tx = 15399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191009521484375 × 214)
    floor (0.191009521484375 × 16384)
    floor (3129.5)     		ty = 3129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15399 / 3129 ti = "14/15399/3129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15399/3129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15399 ÷ 214
    15399 ÷ 16384     		x = 0.93988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3129 ÷ 214
    3129 ÷ 16384     		y = 0.19097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93988037109375 × 2 - 1) × π
    0.8797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76384988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19097900390625 × 2 - 1) × π
    0.6180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94163618221075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76384988} λ = 2.76384988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94163618221075))-π/2
    2×atan(6.97014607487578)-π/2
    2×1.42829968776701-π/2
    2.85659937553402-1.57079632675     		φ = 1.28580305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76384988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28580305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.671088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15399 KachelY 3129 2.76384988 1.28580305 158.356933 73.671088
    Oben rechts KachelX + 1 15400 KachelY 3129 2.76423338 1.28580305 158.378906 73.671088
    Unten links KachelX 15399 KachelY + 1 3130 2.76384988 1.28569521 158.356933 73.664909
    Unten rechts KachelX + 1 15400 KachelY + 1 3130 2.76423338 1.28569521 158.378906 73.664909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28580305-1.28569521) × R
    0.000107839999999859 × 6371000     		dl = 687.048639999103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28580305-1.28569521) × R
    0.000107839999999859 × 6371000     		dr = 687.048639999103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76384988-2.76423338) × cos(1.28580305) × R
    0.00038349999999987 × 0.281150999286819 × 6371000     		do = 686.930191810768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76384988-2.76423338) × cos(1.28569521) × R
    0.00038349999999987 × 0.281254487768268 × 6371000     		du = 687.18304299249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28580305)-sin(1.28569521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281150999286819-0.281254487768268)×R²
    abs(2.76423338-2.76384988)×0.00010348848144931×R²
    0.00038349999999987×0.00010348848144931×6371000²
    0.00038349999999987×0.00010348848144931×40589641000000     		ar = 472041.315045046m²