Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15399 / 3127
↖ ↑ ↗
← N 73.683439°
E158.356933°		 ← 686.42 m → N 73.683439°
E158.378906°		 →
↑
686.54 m
↓
↑
686.54 m
↓
N 73.677265°
E158.356933°		 ← 686.68 m →
471 344 m²		 N 73.677265°
E158.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939910888671875 y=0.190887451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939910888671875 × 214)
    floor (0.939910888671875 × 16384)
    floor (15399.5)     		tx = 15399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190887451171875 × 214)
    floor (0.190887451171875 × 16384)
    floor (3127.5)     		ty = 3127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15399 / 3127 ti = "14/15399/3127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15399/3127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15399 ÷ 214
    15399 ÷ 16384     		x = 0.93988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3127 ÷ 214
    3127 ÷ 16384     		y = 0.19085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93988037109375 × 2 - 1) × π
    0.8797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76384988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19085693359375 × 2 - 1) × π
    0.6182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94240317260468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76384988} λ = 2.76384988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94240317260468))-π/2
    2×atan(6.97549416066246)-π/2
    2×1.4284074681536-π/2
    2.85681493630719-1.57079632675     		φ = 1.28601861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76384988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28601861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.683439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15399 KachelY 3127 2.76384988 1.28601861 158.356933 73.683439
    Oben rechts KachelX + 1 15400 KachelY 3127 2.76423338 1.28601861 158.378906 73.683439
    Unten links KachelX 15399 KachelY + 1 3128 2.76384988 1.28591085 158.356933 73.677265
    Unten rechts KachelX + 1 15400 KachelY + 1 3128 2.76423338 1.28591085 158.378906 73.677265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28601861-1.28591085) × R
    0.000107759999999901 × 6371000     		dl = 686.538959999371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28601861-1.28591085) × R
    0.000107759999999901 × 6371000     		dr = 686.538959999371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76384988-2.76423338) × cos(1.28601861) × R
    0.00038349999999987 × 0.280944127683113 × 6371000     		do = 686.424746869173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76384988-2.76423338) × cos(1.28591085) × R
    0.00038349999999987 × 0.281047545923488 × 6371000     		du = 686.677426432388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28601861)-sin(1.28591085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280944127683113-0.281047545923488)×R²
    abs(2.76423338-2.76384988)×0.000103418240374464×R²
    0.00038349999999987×0.000103418240374464×6371000²
    0.00038349999999987×0.000103418240374464×40589641000000     		ar = 471344.069472892m²