Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15398 / 8641
↖ ↑ ↗
← N 64.468059°
W 10.832519°		 ← 526.54 m → N 64.468059°
W 10.821533°		 →
↑
526.56 m
↓
↑
526.56 m
↓
N 64.463323°
W 10.832519°		 ← 526.63 m →
277 283 m²		 N 64.463323°
W 10.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469924926757812 y=0.263717651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469924926757812 × 215)
    floor (0.469924926757812 × 32768)
    floor (15398.5)     		tx = 15398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263717651367188 × 215)
    floor (0.263717651367188 × 32768)
    floor (8641.5)     		ty = 8641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15398 / 8641 ti = "15/15398/8641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15398/8641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15398 ÷ 215
    15398 ÷ 32768     		x = 0.46990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8641 ÷ 215
    8641 ÷ 32768     		y = 0.263702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.0601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18906313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263702392578125 × 2 - 1) × π
    0.47259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48470165503238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18906313} λ = -0.18906313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48470165503238))-π/2
    2×atan(4.41364842653333)-π/2
    2×1.34798810905413-π/2
    2.69597621810826-1.57079632675     		φ = 1.12517989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18906313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.832519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12517989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.468059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15398 KachelY 8641 -0.18906313 1.12517989 -10.832519 64.468059
    Oben rechts KachelX + 1 15399 KachelY 8641 -0.18887138 1.12517989 -10.821533 64.468059
    Unten links KachelX 15398 KachelY + 1 8642 -0.18906313 1.12509724 -10.832519 64.463323
    Unten rechts KachelX + 1 15399 KachelY + 1 8642 -0.18887138 1.12509724 -10.821533 64.463323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12517989-1.12509724) × R
    8.26499999999619e-05 × 6371000     		dl = 526.563149999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12517989-1.12509724) × R
    8.26499999999619e-05 × 6371000     		dr = 526.563149999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18906313--0.18887138) × cos(1.12517989) × R
    0.000191749999999991 × 0.431014200905514 × 6371000     		do = 526.543865133536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18906313--0.18887138) × cos(1.12509724) × R
    0.000191749999999991 × 0.431088778259434 × 6371000     		du = 526.634971756245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12517989)-sin(1.12509724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431014200905514-0.431088778259434)×R²
    abs(-0.18887138--0.18906313)×7.4577353919858e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4577353919858e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4577353919858e-05×40589641000000     		ar = 277282.583090755m²