Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15398 / 8640
↖ ↑ ↗
← N 64.472794°
W 10.832519°		 ← 526.45 m → N 64.472794°
W 10.821533°		 →
↑
526.50 m
↓
↑
526.50 m
↓
N 64.468059°
W 10.832519°		 ← 526.54 m →
277 201 m²		 N 64.468059°
W 10.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469924926757812 y=0.263687133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469924926757812 × 215)
    floor (0.469924926757812 × 32768)
    floor (15398.5)     		tx = 15398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263687133789062 × 215)
    floor (0.263687133789062 × 32768)
    floor (8640.5)     		ty = 8640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15398 / 8640 ti = "15/15398/8640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15398/8640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15398 ÷ 215
    15398 ÷ 32768     		x = 0.46990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8640 ÷ 215
    8640 ÷ 32768     		y = 0.263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.0601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18906313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263671875 × 2 - 1) × π
    0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18906313} λ = -0.18906313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48489340263086))-π/2
    2×atan(4.41449481416346)-π/2
    2×1.34802942844824-π/2
    2.69605885689648-1.57079632675     		φ = 1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18906313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.832519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15398 KachelY 8640 -0.18906313 1.12526253 -10.832519 64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 15399 KachelY 8640 -0.18887138 1.12526253 -10.821533 64.472794
    Unten links KachelX 15398 KachelY + 1 8641 -0.18906313 1.12517989 -10.832519 64.468059
    Unten rechts KachelX + 1 15399 KachelY + 1 8641 -0.18887138 1.12517989 -10.821533 64.468059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12526253-1.12517989) × R
    8.26400000000227e-05 × 6371000     		dl = 526.499440000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12526253-1.12517989) × R
    8.26400000000227e-05 × 6371000     		dr = 526.499440000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18906313--0.18887138) × cos(1.12526253) × R
    0.000191749999999991 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 526.452765937831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18906313--0.18887138) × cos(1.12517989) × R
    0.000191749999999991 × 0.431014200905514 × 6371000     		du = 526.543865133536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12526253)-sin(1.12517989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.431014200905514)×R²
    abs(-0.18887138--0.18906313)×7.4571274380042e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4571274380042e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4571274380042e-05×40589641000000     		ar = 277201.068448372m²