Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15398 / 3141
↖ ↑ ↗
← N 73.596793°
E158.334961°		 ← 689.95 m → N 73.596793°
E158.356933°		 →
↑
690.11 m
↓
↑
690.11 m
↓
N 73.590586°
E158.334961°		 ← 690.21 m →
476 228 m²		 N 73.590586°
E158.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939849853515625 y=0.191741943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939849853515625 × 214)
    floor (0.939849853515625 × 16384)
    floor (15398.5)     		tx = 15398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191741943359375 × 214)
    floor (0.191741943359375 × 16384)
    floor (3141.5)     		ty = 3141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15398 / 3141 ti = "14/15398/3141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15398/3141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15398 ÷ 214
    15398 ÷ 16384     		x = 0.9398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3141 ÷ 214
    3141 ÷ 16384     		y = 0.19171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9398193359375 × 2 - 1) × π
    0.879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76346639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19171142578125 × 2 - 1) × π
    0.6165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93703423984723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76346639} λ = 2.76346639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93703423984723))-π/2
    2×atan(6.93814355772231)-π/2
    2×1.42765133699096-π/2
    2.85530267398192-1.57079632675     		φ = 1.28450635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76346639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28450635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.596793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15398 KachelY 3141 2.76346639 1.28450635 158.334961 73.596793
    Oben rechts KachelX + 1 15399 KachelY 3141 2.76384988 1.28450635 158.356933 73.596793
    Unten links KachelX 15398 KachelY + 1 3142 2.76346639 1.28439803 158.334961 73.590586
    Unten rechts KachelX + 1 15399 KachelY + 1 3142 2.76384988 1.28439803 158.356933 73.590586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28450635-1.28439803) × R
    0.000108320000000051 × 6371000     		dl = 690.106720000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28450635-1.28439803) × R
    0.000108320000000051 × 6371000     		dr = 690.106720000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76346639-2.76384988) × cos(1.28450635) × R
    0.000383489999999931 × 0.282395158286235 × 6371000     		do = 689.952027349196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76346639-2.76384988) × cos(1.28439803) × R
    0.000383489999999931 × 0.282499067806856 × 6371000     		du = 690.205900626798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28450635)-sin(1.28439803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282395158286235-0.282499067806856)×R²
    abs(2.76384988-2.76346639)×0.000103909520620893×R²
    0.000383489999999931×0.000103909520620893×6371000²
    0.000383489999999931×0.000103909520620893×40589641000000     		ar = 476228.130845154m²