Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15398 / 3134
↖ ↑ ↗
← N 73.640171°
E158.334961°		 ← 688.18 m → N 73.640171°
E158.356933°		 →
↑
688.32 m
↓
↑
688.32 m
↓
N 73.633981°
E158.334961°		 ← 688.43 m →
473 775 m²		 N 73.633981°
E158.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939849853515625 y=0.191314697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939849853515625 × 214)
    floor (0.939849853515625 × 16384)
    floor (15398.5)     		tx = 15398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191314697265625 × 214)
    floor (0.191314697265625 × 16384)
    floor (3134.5)     		ty = 3134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15398 / 3134 ti = "14/15398/3134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15398/3134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15398 ÷ 214
    15398 ÷ 16384     		x = 0.9398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3134 ÷ 214
    3134 ÷ 16384     		y = 0.1912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9398193359375 × 2 - 1) × π
    0.879638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76346639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1912841796875 × 2 - 1) × π
    0.617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93971870622595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76346639} λ = 2.76346639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93971870622595))-π/2
    2×atan(6.95679379259799)-π/2
    2×1.42802988947823-π/2
    2.85605977895646-1.57079632675     		φ = 1.28526345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76346639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28526345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.640171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15398 KachelY 3134 2.76346639 1.28526345 158.334961 73.640171
    Oben rechts KachelX + 1 15399 KachelY 3134 2.76384988 1.28526345 158.356933 73.640171
    Unten links KachelX 15398 KachelY + 1 3135 2.76346639 1.28515541 158.334961 73.633981
    Unten rechts KachelX + 1 15399 KachelY + 1 3135 2.76384988 1.28515541 158.356933 73.633981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28526345-1.28515541) × R
    0.000108039999999976 × 6371000     		dl = 688.322839999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28526345-1.28515541) × R
    0.000108039999999976 × 6371000     		dr = 688.322839999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76346639-2.76384988) × cos(1.28526345) × R
    0.000383489999999931 × 0.281668792778338 × 6371000     		do = 688.177360397356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76346639-2.76384988) × cos(1.28515541) × R
    0.000383489999999931 × 0.281772456777661 × 6371000     		du = 688.430633813692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28526345)-sin(1.28515541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281668792778338-0.281772456777661)×R²
    abs(2.76384988-2.76346639)×0.000103663999322823×R²
    0.000383489999999931×0.000103663999322823×6371000²
    0.000383489999999931×0.000103663999322823×40589641000000     		ar = 473775.362530742m²