Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15397 / 8675
↖ ↑ ↗
← N 64.306586°
W 10.843506°		 ← 529.65 m → N 64.306586°
W 10.832519°		 →
↑
529.68 m
↓
↑
529.68 m
↓
N 64.301822°
W 10.843506°		 ← 529.74 m →
280 571 m²		 N 64.301822°
W 10.832519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469894409179688 y=0.264755249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469894409179688 × 215)
    floor (0.469894409179688 × 32768)
    floor (15397.5)     		tx = 15397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264755249023438 × 215)
    floor (0.264755249023438 × 32768)
    floor (8675.5)     		ty = 8675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15397 / 8675 ti = "15/15397/8675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15397/8675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15397 ÷ 215
    15397 ÷ 32768     		x = 0.469879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8675 ÷ 215
    8675 ÷ 32768     		y = 0.264739990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.06024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18925488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264739990234375 × 2 - 1) × π
    0.47052001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47818223668405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18925488} λ = -0.18925488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47818223668405))-π/2
    2×atan(4.38496759874039)-π/2
    2×1.34657898927338-π/2
    2.69315797854675-1.57079632675     		φ = 1.12236165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18925488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12236165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.306586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15397 KachelY 8675 -0.18925488 1.12236165 -10.843506 64.306586
    Oben rechts KachelX + 1 15398 KachelY 8675 -0.18906313 1.12236165 -10.832519 64.306586
    Unten links KachelX 15397 KachelY + 1 8676 -0.18925488 1.12227851 -10.843506 64.301822
    Unten rechts KachelX + 1 15398 KachelY + 1 8676 -0.18906313 1.12227851 -10.832519 64.301822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12236165-1.12227851) × R
    8.31400000000926e-05 × 6371000     		dl = 529.68494000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12236165-1.12227851) × R
    8.31400000000926e-05 × 6371000     		dr = 529.68494000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18925488--0.18906313) × cos(1.12236165) × R
    0.000191749999999991 × 0.433555511058391 × 6371000     		do = 529.648429362713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18925488--0.18906313) × cos(1.12227851) × R
    0.000191749999999991 × 0.433630429247067 × 6371000     		du = 529.739952362539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12236165)-sin(1.12227851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433555511058391-0.433630429247067)×R²
    abs(-0.18906313--0.18925488)×7.49181886769423e-05×R²
    0.000191749999999991×7.49181886769423e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.49181886769423e-05×40589641000000     		ar = 280571.035867543m²