Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15397 / 8470
↖ ↑ ↗
← N 65.265901°
W 10.843506°		 ← 511.14 m → N 65.265901°
W 10.832519°		 →
↑
511.15 m
↓
↑
511.15 m
↓
N 65.261305°
W 10.843506°		 ← 511.23 m →
261 291 m²		 N 65.261305°
W 10.832519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469894409179688 y=0.258499145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469894409179688 × 215)
    floor (0.469894409179688 × 32768)
    floor (15397.5)     		tx = 15397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258499145507812 × 215)
    floor (0.258499145507812 × 32768)
    floor (8470.5)     		ty = 8470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15397 / 8470 ti = "15/15397/8470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15397/8470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15397 ÷ 215
    15397 ÷ 32768     		x = 0.469879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8470 ÷ 215
    8470 ÷ 32768     		y = 0.25848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.06024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18925488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25848388671875 × 2 - 1) × π
    0.4830322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5174904943725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18925488} λ = -0.18925488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5174904943725))-π/2
    2×atan(4.5607655553141)-π/2
    2×1.35495059968876-π/2
    2.70990119937752-1.57079632675     		φ = 1.13910487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18925488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13910487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.265901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15397 KachelY 8470 -0.18925488 1.13910487 -10.843506 65.265901
    Oben rechts KachelX + 1 15398 KachelY 8470 -0.18906313 1.13910487 -10.832519 65.265901
    Unten links KachelX 15397 KachelY + 1 8471 -0.18925488 1.13902464 -10.843506 65.261305
    Unten rechts KachelX + 1 15398 KachelY + 1 8471 -0.18906313 1.13902464 -10.832519 65.261305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13910487-1.13902464) × R
    8.02300000000145e-05 × 6371000     		dl = 511.145330000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13910487-1.13902464) × R
    8.02300000000145e-05 × 6371000     		dr = 511.145330000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18925488--0.18906313) × cos(1.13910487) × R
    0.000191749999999991 × 0.418407681650722 × 6371000     		do = 511.143246406001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18925488--0.18906313) × cos(1.13902464) × R
    0.000191749999999991 × 0.418480549950137 × 6371000     		du = 511.232265180648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13910487)-sin(1.13902464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418407681650722-0.418480549950137)×R²
    abs(-0.18906313--0.18925488)×7.28682994153851e-05×R²
    0.000191749999999991×7.28682994153851e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.28682994153851e-05×40589641000000     		ar = 261291.234266483m²