Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15397 / 3149
↖ ↑ ↗
← N 73.547079°
E158.312988°		 ← 692 m → N 73.547079°
E158.334961°		 →
↑
692.08 m
↓
↑
692.08 m
↓
N 73.540855°
E158.312988°		 ← 692.26 m →
479 011 m²		 N 73.540855°
E158.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939788818359375 y=0.192230224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939788818359375 × 214)
    floor (0.939788818359375 × 16384)
    floor (15397.5)     		tx = 15397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192230224609375 × 214)
    floor (0.192230224609375 × 16384)
    floor (3149.5)     		ty = 3149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15397 / 3149 ti = "14/15397/3149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15397/3149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15397 ÷ 214
    15397 ÷ 16384     		x = 0.93975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3149 ÷ 214
    3149 ÷ 16384     		y = 0.19219970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93975830078125 × 2 - 1) × π
    0.8795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76308289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19219970703125 × 2 - 1) × π
    0.6156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93396627827155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76308289} λ = 2.76308289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93396627827155))-π/2
    2×atan(6.91689021876467)-π/2
    2×1.42721751021127-π/2
    2.85443502042255-1.57079632675     		φ = 1.28363869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76308289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28363869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.547079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15397 KachelY 3149 2.76308289 1.28363869 158.312988 73.547079
    Oben rechts KachelX + 1 15398 KachelY 3149 2.76346639 1.28363869 158.334961 73.547079
    Unten links KachelX 15397 KachelY + 1 3150 2.76308289 1.28353006 158.312988 73.540855
    Unten rechts KachelX + 1 15398 KachelY + 1 3150 2.76346639 1.28353006 158.334961 73.540855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28363869-1.28353006) × R
    0.000108630000000165 × 6371000     		dl = 692.081730001051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28363869-1.28353006) × R
    0.000108630000000165 × 6371000     		dr = 692.081730001051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76308289-2.76346639) × cos(1.28363869) × R
    0.00038349999999987 × 0.283227396531682 × 6371000     		do = 692.003408556599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76308289-2.76346639) × cos(1.28353006) × R
    0.00038349999999987 × 0.283331576764258 × 6371000     		du = 692.257949878975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28363869)-sin(1.28353006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283227396531682-0.283331576764258)×R²
    abs(2.76346639-2.76308289)×0.000104180232575524×R²
    0.00038349999999987×0.000104180232575524×6371000²
    0.00038349999999987×0.000104180232575524×40589641000000     		ar = 479010.998330753m²