Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15397 / 21602
↖ ↑ ↗
← N 76.120575°
W137.710876°		 ← 73.27 m → N 76.120575°
W137.708130°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.119917°
W137.710876°		 ← 73.27 m →
5 368 m²		 N 76.119917°
W137.708130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117473602294922 y=0.164813995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117473602294922 × 217)
    floor (0.117473602294922 × 131072)
    floor (15397.5)     		tx = 15397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164813995361328 × 217)
    floor (0.164813995361328 × 131072)
    floor (21602.5)     		ty = 21602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15397 / 21602 ti = "17/15397/21602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15397/21602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15397 ÷ 217
    15397 ÷ 131072     		x = 0.117469787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21602 ÷ 217
    21602 ÷ 131072     		y = 0.164810180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117469787597656 × 2 - 1) × π
    -0.765060424804688 × 3.1415926535     		Λ = -2.40350821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164810180664062 × 2 - 1) × π
    0.670379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10605974790755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40350821} λ = -2.40350821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10605974790755))-π/2
    2×atan(8.2158050800233)-π/2
    2×1.44967549737855-π/2
    2.8993509947571-1.57079632675     		φ = 1.32855467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40350821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.710876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32855467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.120575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15397 KachelY 21602 -2.40350821 1.32855467 -137.710876 76.120575
    Oben rechts KachelX + 1 15398 KachelY 21602 -2.40346027 1.32855467 -137.708130 76.120575
    Unten links KachelX 15397 KachelY + 1 21603 -2.40350821 1.32854317 -137.710876 76.119917
    Unten rechts KachelX + 1 15398 KachelY + 1 21603 -2.40346027 1.32854317 -137.708130 76.119917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32855467-1.32854317) × R
    1.14999999998311e-05 × 6371000     		dl = 73.2664999989239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32855467-1.32854317) × R
    1.14999999998311e-05 × 6371000     		dr = 73.2664999989239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40350821--2.40346027) × cos(1.32855467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239879433744424 × 6371000     		do = 73.2653535621237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40350821--2.40346027) × cos(1.32854317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239890597959463 × 6371000     		du = 73.2687634007635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32855467)-sin(1.32854317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239879433744424-0.239890597959463)×R²
    abs(-2.40346027--2.40350821)×1.11642150391056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11642150391056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11642150391056e-05×40589641000000     		ar = 5368.02094021787m²