Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15396 / 21601
↖ ↑ ↗
← N 76.121234°
W137.713623°		 ← 73.26 m → N 76.121234°
W137.710876°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.120575°
W137.713623°		 ← 73.27 m →
5 368 m²		 N 76.120575°
W137.710876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117465972900391 y=0.164806365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117465972900391 × 217)
    floor (0.117465972900391 × 131072)
    floor (15396.5)     		tx = 15396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164806365966797 × 217)
    floor (0.164806365966797 × 131072)
    floor (21601.5)     		ty = 21601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15396 / 21601 ti = "17/15396/21601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15396/21601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15396 ÷ 217
    15396 ÷ 131072     		x = 0.117462158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21601 ÷ 217
    21601 ÷ 131072     		y = 0.164802551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.76507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.40355615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164802551269531 × 2 - 1) × π
    0.670394897460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.10610768480717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40355615} λ = -2.40355615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10610768480717))-π/2
    2×atan(8.21619892968661)-π/2
    2×1.44968124678298-π/2
    2.89936249356596-1.57079632675     		φ = 1.32856617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40355615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.713623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32856617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.121234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15396 KachelY 21601 -2.40355615 1.32856617 -137.713623 76.121234
    Oben rechts KachelX + 1 15397 KachelY 21601 -2.40350821 1.32856617 -137.710876 76.121234
    Unten links KachelX 15396 KachelY + 1 21602 -2.40355615 1.32855467 -137.713623 76.120575
    Unten rechts KachelX + 1 15397 KachelY + 1 21602 -2.40350821 1.32855467 -137.710876 76.120575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32856617-1.32855467) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dl = 73.2665000003385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32856617-1.32855467) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dr = 73.2665000003385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40355615--2.40350821) × cos(1.32856617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239868269497661 × 6371000     		do = 73.2619437137944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40355615--2.40350821) × cos(1.32855467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239879433744424 × 6371000     		du = 73.2653535621237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32856617)-sin(1.32855467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239868269497661-0.239879433744424)×R²
    abs(-2.40350821--2.40355615)×1.11642467634232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11642467634232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11642467634232e-05×40589641000000     		ar = 5367.77111296362m²