Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15395 / 8638
↖ ↑ ↗
← N 64.482261°
W 10.865478°		 ← 526.24 m → N 64.482261°
W 10.854492°		 →
↑
526.31 m
↓
↑
526.31 m
↓
N 64.477528°
W 10.865478°		 ← 526.33 m →
276 990 m²		 N 64.477528°
W 10.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469833374023438 y=0.263626098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469833374023438 × 215)
    floor (0.469833374023438 × 32768)
    floor (15395.5)     		tx = 15395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263626098632812 × 215)
    floor (0.263626098632812 × 32768)
    floor (8638.5)     		ty = 8638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15395 / 8638 ti = "15/15395/8638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15395/8638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15395 ÷ 215
    15395 ÷ 32768     		x = 0.469818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8638 ÷ 215
    8638 ÷ 32768     		y = 0.26361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.06036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18963837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26361083984375 × 2 - 1) × π
    0.4727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48527689782782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18963837} λ = -0.18963837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48527689782782))-π/2
    2×atan(4.41618807637991)-π/2
    2×1.34811204579087-π/2
    2.69622409158174-1.57079632675     		φ = 1.12542776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18963837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.865478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12542776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.482261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15395 KachelY 8638 -0.18963837 1.12542776 -10.865478 64.482261
    Oben rechts KachelX + 1 15396 KachelY 8638 -0.18944663 1.12542776 -10.854492 64.482261
    Unten links KachelX 15395 KachelY + 1 8639 -0.18963837 1.12534515 -10.865478 64.477528
    Unten rechts KachelX + 1 15396 KachelY + 1 8639 -0.18944663 1.12534515 -10.854492 64.477528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12542776-1.12534515) × R
    8.2609999999983e-05 × 6371000     		dl = 526.308309999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12542776-1.12534515) × R
    8.2609999999983e-05 × 6371000     		dr = 526.308309999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18963837--0.18944663) × cos(1.12542776) × R
    0.000191739999999996 × 0.430790523376344 × 6371000     		do = 526.243166220328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18963837--0.18944663) × cos(1.12534515) × R
    0.000191739999999996 × 0.430865073462036 × 6371000     		du = 526.334234781514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12542776)-sin(1.12534515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430790523376344-0.430865073462036)×R²
    abs(-0.18944663--0.18963837)×7.45500856919046e-05×R²
    0.000191739999999996×7.45500856919046e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.45500856919046e-05×40589641000000     		ar = 276990.116690613m²