Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15394 / 21597
↖ ↑ ↗
← N 76.123869°
W137.719116°		 ← 73.25 m → N 76.123869°
W137.716369°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.123210°
W137.719116°		 ← 73.25 m →
5 367 m²		 N 76.123210°
W137.716369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117450714111328 y=0.164775848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117450714111328 × 217)
    floor (0.117450714111328 × 131072)
    floor (15394.5)     		tx = 15394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164775848388672 × 217)
    floor (0.164775848388672 × 131072)
    floor (21597.5)     		ty = 21597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15394 / 21597 ti = "17/15394/21597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15394/21597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15394 ÷ 217
    15394 ÷ 131072     		x = 0.117446899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21597 ÷ 217
    21597 ÷ 131072     		y = 0.164772033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117446899414062 × 2 - 1) × π
    -0.765106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40365202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164772033691406 × 2 - 1) × π
    0.670455932617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.10629943240565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40365202} λ = -2.40365202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10629943240565))-π/2
    2×atan(8.21777451715274)-π/2
    2×1.44970424172527-π/2
    2.89940848345054-1.57079632675     		φ = 1.32861216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40365202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.719116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32861216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.123869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15394 KachelY 21597 -2.40365202 1.32861216 -137.719116 76.123869
    Oben rechts KachelX + 1 15395 KachelY 21597 -2.40360408 1.32861216 -137.716369 76.123869
    Unten links KachelX 15394 KachelY + 1 21598 -2.40365202 1.32860066 -137.719116 76.123210
    Unten rechts KachelX + 1 15395 KachelY + 1 21598 -2.40360408 1.32860066 -137.716369 76.123210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32861216-1.32860066) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dl = 73.2665000003385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32861216-1.32860066) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dr = 73.2665000003385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40365202--2.40360408) × cos(1.32861216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239823621901561 × 6371000     		do = 73.2483071887165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40365202--2.40360408) × cos(1.32860066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239834786275178 × 6371000     		du = 73.2517170757901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32861216)-sin(1.32860066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239823621901561-0.239834786275178)×R²
    abs(-2.40360408--2.40365202)×1.1164373617284e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1164373617284e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1164373617284e-05×40589641000000     		ar = 5366.7720139323m²