Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15393 / 8639
↖ ↑ ↗
← N 64.477528°
W 10.887451°		 ← 526.36 m → N 64.477528°
W 10.876465°		 →
↑
526.37 m
↓
↑
526.37 m
↓
N 64.472794°
W 10.887451°		 ← 526.45 m →
277 086 m²		 N 64.472794°
W 10.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469772338867188 y=0.263656616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469772338867188 × 215)
    floor (0.469772338867188 × 32768)
    floor (15393.5)     		tx = 15393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263656616210938 × 215)
    floor (0.263656616210938 × 32768)
    floor (8639.5)     		ty = 8639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15393 / 8639 ti = "15/15393/8639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15393/8639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15393 ÷ 215
    15393 ÷ 32768     		x = 0.469757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8639 ÷ 215
    8639 ÷ 32768     		y = 0.263641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.06048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19002187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263641357421875 × 2 - 1) × π
    0.47271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48508515022934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19002187} λ = -0.19002187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48508515022934))-π/2
    2×atan(4.41534136410195)-π/2
    2×1.3480707406935-π/2
    2.69614148138701-1.57079632675     		φ = 1.12534515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19002187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12534515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.477528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15393 KachelY 8639 -0.19002187 1.12534515 -10.887451 64.477528
    Oben rechts KachelX + 1 15394 KachelY 8639 -0.18983012 1.12534515 -10.876465 64.477528
    Unten links KachelX 15393 KachelY + 1 8640 -0.19002187 1.12526253 -10.887451 64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 15394 KachelY + 1 8640 -0.18983012 1.12526253 -10.876465 64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12534515-1.12526253) × R
    8.26199999999222e-05 × 6371000     		dl = 526.372019999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12534515-1.12526253) × R
    8.26199999999222e-05 × 6371000     		dr = 526.372019999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19002187--0.18983012) × cos(1.12534515) × R
    0.000191750000000018 × 0.430865073462036 × 6371000     		do = 526.361685195406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19002187--0.18983012) × cos(1.12526253) × R
    0.000191750000000018 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 526.452765937907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12534515)-sin(1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430865073462036-0.430939629631134)×R²
    abs(-0.18983012--0.19002187)×7.45561690985719e-05×R²
    0.000191750000000018×7.45561690985719e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.45561690985719e-05×40589641000000     		ar = 277086.034821053m²