Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15393 / 21608
↖ ↑ ↗
← N 76.116621°
W137.721863°		 ← 73.29 m → N 76.116621°
W137.719116°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.115963°
W137.721863°		 ← 73.29 m →
5 370 m²		 N 76.115963°
W137.719116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117443084716797 y=0.164859771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117443084716797 × 217)
    floor (0.117443084716797 × 131072)
    floor (15393.5)     		tx = 15393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164859771728516 × 217)
    floor (0.164859771728516 × 131072)
    floor (21608.5)     		ty = 21608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15393 / 21608 ti = "17/15393/21608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15393/21608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15393 ÷ 217
    15393 ÷ 131072     		x = 0.117439270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21608 ÷ 217
    21608 ÷ 131072     		y = 0.16485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117439270019531 × 2 - 1) × π
    -0.765121459960938 × 3.1415926535     		Λ = -2.40369996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16485595703125 × 2 - 1) × π
    0.6702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10577212650983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40369996} λ = -2.40369996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10577212650983))-π/2
    2×atan(8.21344237848083)-π/2
    2×1.44964099533261-π/2
    2.89928199066523-1.57079632675     		φ = 1.32848566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40369996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.721863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32848566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.116621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15393 KachelY 21608 -2.40369996 1.32848566 -137.721863 76.116621
    Oben rechts KachelX + 1 15394 KachelY 21608 -2.40365202 1.32848566 -137.719116 76.116621
    Unten links KachelX 15393 KachelY + 1 21609 -2.40369996 1.32847416 -137.721863 76.115963
    Unten rechts KachelX + 1 15394 KachelY + 1 21609 -2.40365202 1.32847416 -137.719116 76.115963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32848566-1.32847416) × R
    1.14999999998311e-05 × 6371000     		dl = 73.2664999989239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32848566-1.32847416) × R
    1.14999999998311e-05 × 6371000     		dr = 73.2664999989239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40369996--2.40365202) × cos(1.32848566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239946428266609 × 6371000     		do = 73.2858154136378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40369996--2.40365202) × cos(1.32847416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239957592291245 × 6371000     		du = 73.2892251941237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32848566)-sin(1.32847416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239946428266609-0.239957592291245)×R²
    abs(-2.40365202--2.40369996)×1.11640246362177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11640246362177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11640246362177e-05×40589641000000     		ar = 5369.5201061679m²