Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15393 / 21590
↖ ↑ ↗
← N 76.128479°
W137.721863°		 ← 73.22 m → N 76.128479°
W137.719116°		 →
↑
73.20 m
↓
↑
73.20 m
↓
N 76.127821°
W137.721863°		 ← 73.23 m →
5 360 m²		 N 76.127821°
W137.719116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117443084716797 y=0.164722442626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117443084716797 × 217)
    floor (0.117443084716797 × 131072)
    floor (15393.5)     		tx = 15393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164722442626953 × 217)
    floor (0.164722442626953 × 131072)
    floor (21590.5)     		ty = 21590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15393 / 21590 ti = "17/15393/21590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15393/21590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15393 ÷ 217
    15393 ÷ 131072     		x = 0.117439270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21590 ÷ 217
    21590 ÷ 131072     		y = 0.164718627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117439270019531 × 2 - 1) × π
    -0.765121459960938 × 3.1415926535     		Λ = -2.40369996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164718627929688 × 2 - 1) × π
    0.670562744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10663499070299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40369996} λ = -2.40369996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10663499070299))-π/2
    2×atan(8.22053252228752)-π/2
    2×1.44974447257562-π/2
    2.89948894515124-1.57079632675     		φ = 1.32869262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40369996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.721863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32869262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.128479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15393 KachelY 21590 -2.40369996 1.32869262 -137.721863 76.128479
    Oben rechts KachelX + 1 15394 KachelY 21590 -2.40365202 1.32869262 -137.719116 76.128479
    Unten links KachelX 15393 KachelY + 1 21591 -2.40369996 1.32868113 -137.721863 76.127821
    Unten rechts KachelX + 1 15394 KachelY + 1 21591 -2.40365202 1.32868113 -137.719116 76.127821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32869262-1.32868113) × R
    1.14899999998919e-05 × 6371000     		dl = 73.2027899993111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32869262-1.32868113) × R
    1.14899999998919e-05 × 6371000     		dr = 73.2027899993111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40369996--2.40365202) × cos(1.32869262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239745509231687 × 6371000     		do = 73.2244495687169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40369996--2.40365202) × cos(1.32868113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23975666411885 × 6371000     		du = 73.2278565583831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32869262)-sin(1.32868113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239745509231687-0.23975666411885)×R²
    abs(-2.40365202--2.40369996)×1.11548871624123e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11548871624123e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11548871624123e-05×40589641000000     		ar = 5360.35870522038m²