Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15388 / 8635
↖ ↑ ↗
← N 64.496456°
W 10.942383°		 ← 526 m → N 64.496456°
W 10.931396°		 →
↑
526.05 m
↓
↑
526.05 m
↓
N 64.491725°
W 10.942383°		 ← 526.09 m →
276 727 m²		 N 64.491725°
W 10.931396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469619750976562 y=0.263534545898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469619750976562 × 215)
    floor (0.469619750976562 × 32768)
    floor (15388.5)     		tx = 15388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263534545898438 × 215)
    floor (0.263534545898438 × 32768)
    floor (8635.5)     		ty = 8635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15388 / 8635 ti = "15/15388/8635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15388/8635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15388 ÷ 215
    15388 ÷ 32768     		x = 0.4696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8635 ÷ 215
    8635 ÷ 32768     		y = 0.263519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19098061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263519287109375 × 2 - 1) × π
    0.47296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48585214062326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19098061} λ = -0.19098061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48585214062326))-π/2
    2×atan(4.41872918756204)-π/2
    2×1.34823591820516-π/2
    2.69647183641031-1.57079632675     		φ = 1.12567551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19098061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12567551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.496456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15388 KachelY 8635 -0.19098061 1.12567551 -10.942383 64.496456
    Oben rechts KachelX + 1 15389 KachelY 8635 -0.19078886 1.12567551 -10.931396 64.496456
    Unten links KachelX 15388 KachelY + 1 8636 -0.19098061 1.12559294 -10.942383 64.491725
    Unten rechts KachelX + 1 15389 KachelY + 1 8636 -0.19078886 1.12559294 -10.931396 64.491725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12567551-1.12559294) × R
    8.2570000000004e-05 × 6371000     		dl = 526.053470000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12567551-1.12559294) × R
    8.2570000000004e-05 × 6371000     		dr = 526.053470000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19098061--0.19078886) × cos(1.12567551) × R
    0.000191749999999991 × 0.430566927686644 × 6371000     		do = 525.997458613891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19098061--0.19078886) × cos(1.12559294) × R
    0.000191749999999991 × 0.430641450486717 × 6371000     		du = 526.088498591479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12567551)-sin(1.12559294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430566927686644-0.430641450486717)×R²
    abs(-0.19078886--0.19098061)×7.4522800072363e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4522800072363e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4522800072363e-05×40589641000000     		ar = 276726.734420223m²