Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15387 / 8642
↖ ↑ ↗
← N 64.463323°
W 10.953369°		 ← 526.63 m → N 64.463323°
W 10.942383°		 →
↑
526.69 m
↓
↑
526.69 m
↓
N 64.458587°
W 10.953369°		 ← 526.73 m →
277 398 m²		 N 64.458587°
W 10.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469589233398438 y=0.263748168945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469589233398438 × 215)
    floor (0.469589233398438 × 32768)
    floor (15387.5)     		tx = 15387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263748168945312 × 215)
    floor (0.263748168945312 × 32768)
    floor (8642.5)     		ty = 8642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15387 / 8642 ti = "15/15387/8642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15387/8642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15387 ÷ 215
    15387 ÷ 32768     		x = 0.469573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8642 ÷ 215
    8642 ÷ 32768     		y = 0.26373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.06085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19117236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26373291015625 × 2 - 1) × π
    0.4725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4845099074339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19117236} λ = -0.19117236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4845099074339))-π/2
    2×atan(4.41280220118044)-π/2
    2×1.34794678251022-π/2
    2.69589356502043-1.57079632675     		φ = 1.12509724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19117236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.953369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12509724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.463323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15387 KachelY 8642 -0.19117236 1.12509724 -10.953369 64.463323
    Oben rechts KachelX + 1 15388 KachelY 8642 -0.19098061 1.12509724 -10.942383 64.463323
    Unten links KachelX 15387 KachelY + 1 8643 -0.19117236 1.12501457 -10.953369 64.458587
    Unten rechts KachelX + 1 15388 KachelY + 1 8643 -0.19098061 1.12501457 -10.942383 64.458587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12509724-1.12501457) × R
    8.26700000000624e-05 × 6371000     		dl = 526.690570000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12509724-1.12501457) × R
    8.26700000000624e-05 × 6371000     		dr = 526.690570000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19117236--0.19098061) × cos(1.12509724) × R
    0.000191750000000018 × 0.431088778259434 × 6371000     		do = 526.634971756322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19117236--0.19098061) × cos(1.12501457) × R
    0.000191750000000018 × 0.431163370714054 × 6371000     		du = 526.72609682664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12509724)-sin(1.12501457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431088778259434-0.431163370714054)×R²
    abs(-0.19098061--0.19117236)×7.45924546203813e-05×R²
    0.000191750000000018×7.45924546203813e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.45924546203813e-05×40589641000000     		ar = 277397.670972003m²