Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15387 / 3148
↖ ↑ ↗
← N 73.553302°
E158.093262°		 ← 691.75 m → N 73.553302°
E158.115235°		 →
↑
691.89 m
↓
↑
691.89 m
↓
N 73.547079°
E158.093262°		 ← 692 m →
478 703 m²		 N 73.547079°
E158.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939178466796875 y=0.192169189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939178466796875 × 214)
    floor (0.939178466796875 × 16384)
    floor (15387.5)     		tx = 15387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192169189453125 × 214)
    floor (0.192169189453125 × 16384)
    floor (3148.5)     		ty = 3148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15387 / 3148 ti = "14/15387/3148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15387/3148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15387 ÷ 214
    15387 ÷ 16384     		x = 0.93914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3148 ÷ 214
    3148 ÷ 16384     		y = 0.192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93914794921875 × 2 - 1) × π
    0.8782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.75924794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192138671875 × 2 - 1) × π
    0.61572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93434977346851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.75924794} λ = 2.75924794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93434977346851))-π/2
    2×atan(6.91954332163505)-π/2
    2×1.42727180839777-π/2
    2.85454361679555-1.57079632675     		φ = 1.28374729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.75924794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28374729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.553302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15387 KachelY 3148 2.75924794 1.28374729 158.093262 73.553302
    Oben rechts KachelX + 1 15388 KachelY 3148 2.75963144 1.28374729 158.115235 73.553302
    Unten links KachelX 15387 KachelY + 1 3149 2.75924794 1.28363869 158.093262 73.547079
    Unten rechts KachelX + 1 15388 KachelY + 1 3149 2.75963144 1.28363869 158.115235 73.547079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28374729-1.28363869) × R
    0.000108599999999903 × 6371000     		dl = 691.890599999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28374729-1.28363869) × R
    0.000108599999999903 × 6371000     		dr = 691.890599999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.75924794-2.75963144) × cos(1.28374729) × R
    0.000383500000000314 × 0.283123241729395 × 6371000     		do = 691.748929368299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.75924794-2.75963144) × cos(1.28363869) × R
    0.000383500000000314 × 0.283227396531682 × 6371000     		du = 692.0034085574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28374729)-sin(1.28363869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283123241729395-0.283227396531682)×R²
    abs(2.75963144-2.75924794)×0.000104154802287426×R²
    0.000383500000000314×0.000104154802287426×6371000²
    0.000383500000000314×0.000104154802287426×40589641000000     		ar = 478702.618139661m²