Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15386 / 7182
↖ ↑ ↗
← N 80.165587°
W 95.482178°		 ← 104.33 m → N 80.165587°
W 95.476684°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
N 80.164649°
W 95.482178°		 ← 104.34 m →
10 889 m²		 N 80.164649°
W 95.476684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234779357910156 y=0.109596252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234779357910156 × 216)
    floor (0.234779357910156 × 65536)
    floor (15386.5)     		tx = 15386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109596252441406 × 216)
    floor (0.109596252441406 × 65536)
    floor (7182.5)     		ty = 7182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15386 / 7182 ti = "16/15386/7182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15386/7182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15386 ÷ 216
    15386 ÷ 65536     		x = 0.234771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7182 ÷ 216
    7182 ÷ 65536     		y = 0.109588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.53045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.66647838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109588623046875 × 2 - 1) × π
    0.78082275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45302702735751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66647838} λ = -1.66647838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45302702735751))-π/2
    2×atan(11.623478106781)-π/2
    2×1.48497488181315-π/2
    2.9699497636263-1.57079632675     		φ = 1.39915344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66647838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39915344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.165587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15386 KachelY 7182 -1.66647838 1.39915344 -95.482178 80.165587
    Oben rechts KachelX + 1 15387 KachelY 7182 -1.66638250 1.39915344 -95.476684 80.165587
    Unten links KachelX 15386 KachelY + 1 7183 -1.66647838 1.39913706 -95.482178 80.164649
    Unten rechts KachelX + 1 15387 KachelY + 1 7183 -1.66638250 1.39913706 -95.476684 80.164649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39915344-1.39913706) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dl = 104.35698000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39915344-1.39913706) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dr = 104.35698000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66647838--1.66638250) × cos(1.39915344) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.170801324219366 × 6371000     		do = 104.334241685291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66647838--1.66638250) × cos(1.39913706) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17081746350037 × 6371000     		du = 104.344100388979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39915344)-sin(1.39913706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170801324219366-0.17081746350037)×R²
    abs(-1.66638250--1.66647838)×1.61392810041072e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.61392810041072e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.61392810041072e-05×40589641000000     		ar = 10888.5207854123m²