Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15385 / 8468
↖ ↑ ↗
← N 65.275093°
W 10.975342°		 ← 510.97 m → N 65.275093°
W 10.964355°		 →
↑
511.02 m
↓
↑
511.02 m
↓
N 65.270498°
W 10.975342°		 ← 511.05 m →
261 135 m²		 N 65.270498°
W 10.964355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469528198242188 y=0.258438110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469528198242188 × 215)
    floor (0.469528198242188 × 32768)
    floor (15385.5)     		tx = 15385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258438110351562 × 215)
    floor (0.258438110351562 × 32768)
    floor (8468.5)     		ty = 8468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15385 / 8468 ti = "15/15385/8468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15385/8468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15385 ÷ 215
    15385 ÷ 32768     		x = 0.469512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8468 ÷ 215
    8468 ÷ 32768     		y = 0.2584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.06097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19155585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2584228515625 × 2 - 1) × π
    0.483154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51787398956946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19155585} λ = -0.19155585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51787398956946))-π/2
    2×atan(4.56251492241452)-π/2
    2×1.35503081438538-π/2
    2.71006162877077-1.57079632675     		φ = 1.13926530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19155585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.975342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13926530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.275093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15385 KachelY 8468 -0.19155585 1.13926530 -10.975342 65.275093
    Oben rechts KachelX + 1 15386 KachelY 8468 -0.19136410 1.13926530 -10.964355 65.275093
    Unten links KachelX 15385 KachelY + 1 8469 -0.19155585 1.13918509 -10.975342 65.270498
    Unten rechts KachelX + 1 15386 KachelY + 1 8469 -0.19136410 1.13918509 -10.964355 65.270498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13926530-1.13918509) × R
    8.0209999999914e-05 × 6371000     		dl = 511.017909999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13926530-1.13918509) × R
    8.0209999999914e-05 × 6371000     		dr = 511.017909999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19155585--0.19136410) × cos(1.13926530) × R
    0.000191749999999991 × 0.418261964222467 × 6371000     		do = 510.965232276237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19155585--0.19136410) × cos(1.13918509) × R
    0.000191749999999991 × 0.418334819741006 × 6371000     		du = 511.054235437263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13926530)-sin(1.13918509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418261964222467-0.418334819741006)×R²
    abs(-0.19136410--0.19155585)×7.28555185390833e-05×R²
    0.000191749999999991×7.28555185390833e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.28555185390833e-05×40589641000000     		ar = 261135.126325177m²