Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15385 / 7183
↖ ↑ ↗
← N 80.164649°
W 95.487671°		 ← 104.33 m → N 80.164649°
W 95.482178°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
N 80.163710°
W 95.487671°		 ← 104.34 m →
10 888 m²		 N 80.163710°
W 95.482178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234764099121094 y=0.109611511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234764099121094 × 216)
    floor (0.234764099121094 × 65536)
    floor (15385.5)     		tx = 15385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109611511230469 × 216)
    floor (0.109611511230469 × 65536)
    floor (7183.5)     		ty = 7183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15385 / 7183 ti = "16/15385/7183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15385/7183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15385 ÷ 216
    15385 ÷ 65536     		x = 0.234756469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7183 ÷ 216
    7183 ÷ 65536     		y = 0.109603881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234756469726562 × 2 - 1) × π
    -0.530487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.66657425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109603881835938 × 2 - 1) × π
    0.780792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45293115355827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66657425} λ = -1.66657425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45293115355827))-π/2
    2×atan(11.6223637731931)-π/2
    2×1.48496669374033-π/2
    2.96993338748066-1.57079632675     		φ = 1.39913706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66657425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.487671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39913706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.164649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15385 KachelY 7183 -1.66657425 1.39913706 -95.487671 80.164649
    Oben rechts KachelX + 1 15386 KachelY 7183 -1.66647838 1.39913706 -95.482178 80.164649
    Unten links KachelX 15385 KachelY + 1 7184 -1.66657425 1.39912068 -95.487671 80.163710
    Unten rechts KachelX + 1 15386 KachelY + 1 7184 -1.66647838 1.39912068 -95.482178 80.163710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39913706-1.39912068) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dl = 104.356979999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39913706-1.39912068) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dr = 104.356979999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66657425--1.66647838) × cos(1.39913706) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17081746350037 × 6371000     		do = 104.333217608445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66657425--1.66647838) × cos(1.39912068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170833602735543 × 6371000     		du = 104.343075255906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39913706)-sin(1.39912068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17081746350037-0.170833602735543)×R²
    abs(-1.66647838--1.66657425)×1.6139235172824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6139235172824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6139235172824e-05×40589641000000     		ar = 10888.4138608929m²