Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15385 / 21591
↖ ↑ ↗
← N 76.127821°
W137.743835°		 ← 73.21 m → N 76.127821°
W137.741089°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.127162°
W137.743835°		 ← 73.22 m →
5 364 m²		 N 76.127162°
W137.741089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117382049560547 y=0.164730072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117382049560547 × 217)
    floor (0.117382049560547 × 131072)
    floor (15385.5)     		tx = 15385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164730072021484 × 217)
    floor (0.164730072021484 × 131072)
    floor (21591.5)     		ty = 21591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15385 / 21591 ti = "17/15385/21591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15385/21591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15385 ÷ 217
    15385 ÷ 131072     		x = 0.117378234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21591 ÷ 217
    21591 ÷ 131072     		y = 0.164726257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.117378234863281 × 2 - 1) × π
    -0.765243530273438 × 3.1415926535     		Λ = -2.40408345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164726257324219 × 2 - 1) × π
    0.670547485351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.10658705380337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40408345} λ = -2.40408345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10658705380337))-π/2
    2×atan(8.22013846489019)-π/2
    2×1.44973872611366-π/2
    2.89947745222732-1.57079632675     		φ = 1.32868113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40408345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.743835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32868113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.127821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15385 KachelY 21591 -2.40408345 1.32868113 -137.743835 76.127821
    Oben rechts KachelX + 1 15386 KachelY 21591 -2.40403552 1.32868113 -137.741089 76.127821
    Unten links KachelX 15385 KachelY + 1 21592 -2.40408345 1.32866963 -137.743835 76.127162
    Unten rechts KachelX + 1 15386 KachelY + 1 21592 -2.40403552 1.32866963 -137.741089 76.127162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32868113-1.32866963) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dl = 73.2665000003385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32868113-1.32866963) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dr = 73.2665000003385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40408345--2.40403552) × cos(1.32868113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23975666411885 × 6371000     		do = 73.2125816614049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40408345--2.40403552) × cos(1.32866963) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239767828682662 × 6371000     		du = 73.2159908952748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32868113)-sin(1.32866963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23975666411885-0.239767828682662)×R²
    abs(-2.40403552--2.40408345)×1.11645638124491e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11645638124491e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11645638124491e-05×40589641000000     		ar = 5364.15450569773m²