Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15384 / 8631
↖ ↑ ↗
← N 64.515371°
W 10.986328°		 ← 525.63 m → N 64.515371°
W 10.975342°		 →
↑
525.67 m
↓
↑
525.67 m
↓
N 64.510643°
W 10.986328°		 ← 525.72 m →
276 334 m²		 N 64.510643°
W 10.975342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469497680664062 y=0.263412475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469497680664062 × 215)
    floor (0.469497680664062 × 32768)
    floor (15384.5)     		tx = 15384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263412475585938 × 215)
    floor (0.263412475585938 × 32768)
    floor (8631.5)     		ty = 8631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15384 / 8631 ti = "15/15384/8631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15384/8631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15384 ÷ 215
    15384 ÷ 32768     		x = 0.469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8631 ÷ 215
    8631 ÷ 32768     		y = 0.263397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.06103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19174760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263397216796875 × 2 - 1) × π
    0.47320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48661913101718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19174760} λ = -0.19174760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48661913101718))-π/2
    2×atan(4.42211961044692)-π/2
    2×1.34840098141162-π/2
    2.69680196282324-1.57079632675     		φ = 1.12600564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19174760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12600564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.515371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15384 KachelY 8631 -0.19174760 1.12600564 -10.986328 64.515371
    Oben rechts KachelX + 1 15385 KachelY 8631 -0.19155585 1.12600564 -10.975342 64.515371
    Unten links KachelX 15384 KachelY + 1 8632 -0.19174760 1.12592313 -10.986328 64.510643
    Unten rechts KachelX + 1 15385 KachelY + 1 8632 -0.19155585 1.12592313 -10.975342 64.510643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12600564-1.12592313) × R
    8.25099999999246e-05 × 6371000     		dl = 525.67120999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12600564-1.12592313) × R
    8.25099999999246e-05 × 6371000     		dr = 525.67120999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19174760--0.19155585) × cos(1.12600564) × R
    0.000191749999999991 × 0.43026894254134 × 6371000     		do = 525.633428264469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19174760--0.19155585) × cos(1.12592313) × R
    0.000191749999999991 × 0.430343422915205 × 6371000     		du = 525.724416412538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12600564)-sin(1.12592313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43026894254134-0.430343422915205)×R²
    abs(-0.19155585--0.19174760)×7.44803738655375e-05×R²
    0.000191749999999991×7.44803738655375e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.44803738655375e-05×40589641000000     		ar = 276334.275332992m²