Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15382 / 8696
↖ ↑ ↗
← N 64.206377°
W 11.008301°		 ← 531.55 m → N 64.206377°
W 10.997315°		 →
↑
531.60 m
↓
↑
531.60 m
↓
N 64.201596°
W 11.008301°		 ← 531.64 m →
282 592 m²		 N 64.201596°
W 10.997315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469436645507812 y=0.265396118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469436645507812 × 215)
    floor (0.469436645507812 × 32768)
    floor (15382.5)     		tx = 15382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265396118164062 × 215)
    floor (0.265396118164062 × 32768)
    floor (8696.5)     		ty = 8696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15382 / 8696 ti = "15/15382/8696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15382/8696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15382 ÷ 215
    15382 ÷ 32768     		x = 0.46942138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8696 ÷ 215
    8696 ÷ 32768     		y = 0.265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46942138671875 × 2 - 1) × π
    -0.0611572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19213109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265380859375 × 2 - 1) × π
    0.46923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47415553711597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19213109} λ = -0.19213109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47415553711597))-π/2
    2×atan(4.36734615354731)-π/2
    2×1.34570450522406-π/2
    2.69140901044811-1.57079632675     		φ = 1.12061268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19213109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12061268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.206377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15382 KachelY 8696 -0.19213109 1.12061268 -11.008301 64.206377
    Oben rechts KachelX + 1 15383 KachelY 8696 -0.19193935 1.12061268 -10.997315 64.206377
    Unten links KachelX 15382 KachelY + 1 8697 -0.19213109 1.12052924 -11.008301 64.201596
    Unten rechts KachelX + 1 15383 KachelY + 1 8697 -0.19193935 1.12052924 -10.997315 64.201596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12061268-1.12052924) × R
    8.34400000000457e-05 × 6371000     		dl = 531.596240000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12061268-1.12052924) × R
    8.34400000000457e-05 × 6371000     		dr = 531.596240000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19213109--0.19193935) × cos(1.12061268) × R
    0.000191739999999996 × 0.435130890999766 × 6371000     		do = 531.545253143709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19213109--0.19193935) × cos(1.12052924) × R
    0.000191739999999996 × 0.435206016124702 × 6371000     		du = 531.63702415877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12061268)-sin(1.12052924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435130890999766-0.435206016124702)×R²
    abs(-0.19193935--0.19213109)×7.51251249354046e-05×R²
    0.000191739999999996×7.51251249354046e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.51251249354046e-05×40589641000000     		ar = 282591.850688564m²