Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15381 / 8693
↖ ↑ ↗
← N 64.220715°
W 11.019287°		 ← 531.30 m → N 64.220715°
W 11.008301°		 →
↑
531.28 m
↓
↑
531.28 m
↓
N 64.215937°
W 11.019287°		 ← 531.39 m →
282 291 m²		 N 64.215937°
W 11.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469406127929688 y=0.265304565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469406127929688 × 215)
    floor (0.469406127929688 × 32768)
    floor (15381.5)     		tx = 15381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265304565429688 × 215)
    floor (0.265304565429688 × 32768)
    floor (8693.5)     		ty = 8693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15381 / 8693 ti = "15/15381/8693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15381/8693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15381 ÷ 215
    15381 ÷ 32768     		x = 0.469390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8693 ÷ 215
    8693 ÷ 32768     		y = 0.265289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.06121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19232284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265289306640625 × 2 - 1) × π
    0.46942138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47473077991141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19232284} λ = -0.19232284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47473077991141))-π/2
    2×atan(4.36985916068266)-π/2
    2×1.34582962577224-π/2
    2.69165925154448-1.57079632675     		φ = 1.12086292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19232284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12086292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.220715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15381 KachelY 8693 -0.19232284 1.12086292 -11.019287 64.220715
    Oben rechts KachelX + 1 15382 KachelY 8693 -0.19213109 1.12086292 -11.008301 64.220715
    Unten links KachelX 15381 KachelY + 1 8694 -0.19232284 1.12077953 -11.019287 64.215937
    Unten rechts KachelX + 1 15382 KachelY + 1 8694 -0.19213109 1.12077953 -11.008301 64.215937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12086292-1.12077953) × R
    8.33899999999055e-05 × 6371000     		dl = 531.277689999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12086292-1.12077953) × R
    8.33899999999055e-05 × 6371000     		dr = 531.277689999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19232284--0.19213109) × cos(1.12086292) × R
    0.000191749999999991 × 0.434905569488242 × 6371000     		do = 531.297713730412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19232284--0.19213109) × cos(1.12077953) × R
    0.000191749999999991 × 0.434980658675164 × 6371000     		du = 531.389445628407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12086292)-sin(1.12077953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434905569488242-0.434980658675164)×R²
    abs(-0.19213109--0.19232284)×7.50891869222281e-05×R²
    0.000191749999999991×7.50891869222281e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.50891869222281e-05×40589641000000     		ar = 282290.989771528m²