Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15381 / 8560
↖ ↑ ↗
← N 64.848937°
W 11.019287°		 ← 519.20 m → N 64.848937°
W 11.008301°		 →
↑
519.24 m
↓
↑
519.24 m
↓
N 64.844268°
W 11.019287°		 ← 519.29 m →
269 613 m²		 N 64.844268°
W 11.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469406127929688 y=0.261245727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469406127929688 × 215)
    floor (0.469406127929688 × 32768)
    floor (15381.5)     		tx = 15381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261245727539062 × 215)
    floor (0.261245727539062 × 32768)
    floor (8560.5)     		ty = 8560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15381 / 8560 ti = "15/15381/8560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15381/8560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15381 ÷ 215
    15381 ÷ 32768     		x = 0.469390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8560 ÷ 215
    8560 ÷ 32768     		y = 0.26123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.06121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19232284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26123046875 × 2 - 1) × π
    0.4775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50023321050928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19232284} λ = -0.19232284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50023321050928))-π/2
    2×atan(4.48273436921118)-π/2
    2×1.35131189922269-π/2
    2.70262379844538-1.57079632675     		φ = 1.13182747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19232284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13182747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.848937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15381 KachelY 8560 -0.19232284 1.13182747 -11.019287 64.848937
    Oben rechts KachelX + 1 15382 KachelY 8560 -0.19213109 1.13182747 -11.008301 64.848937
    Unten links KachelX 15381 KachelY + 1 8561 -0.19232284 1.13174597 -11.019287 64.844268
    Unten rechts KachelX + 1 15382 KachelY + 1 8561 -0.19213109 1.13174597 -11.008301 64.844268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13182747-1.13174597) × R
    8.14999999998456e-05 × 6371000     		dl = 519.236499999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13182747-1.13174597) × R
    8.14999999998456e-05 × 6371000     		dr = 519.236499999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19232284--0.19213109) × cos(1.13182747) × R
    0.000191749999999991 × 0.425006310260096 × 6371000     		do = 519.204390111386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19232284--0.19213109) × cos(1.13174597) × R
    0.000191749999999991 × 0.425080081865034 × 6371000     		du = 519.294512399514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13182747)-sin(1.13174597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425006310260096-0.425080081865034)×R²
    abs(-0.19213109--0.19232284)×7.37716049380444e-05×R²
    0.000191749999999991×7.37716049380444e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.37716049380444e-05×40589641000000     		ar = 269613.26784559m²