Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15381 / 13332
↖ ↑ ↗
← N 72.362448°
W 95.509644°		 ← 185.08 m → N 72.362448°
W 95.504150°		 →
↑
185.08 m
↓
↑
185.08 m
↓
N 72.360783°
W 95.509644°		 ← 185.10 m →
34 257 m²		 N 72.360783°
W 95.504150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234703063964844 y=0.203437805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234703063964844 × 216)
    floor (0.234703063964844 × 65536)
    floor (15381.5)     		tx = 15381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203437805175781 × 216)
    floor (0.203437805175781 × 65536)
    floor (13332.5)     		ty = 13332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15381 / 13332 ti = "16/15381/13332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15381/13332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15381 ÷ 216
    15381 ÷ 65536     		x = 0.234695434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13332 ÷ 216
    13332 ÷ 65536     		y = 0.20343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234695434570312 × 2 - 1) × π
    -0.530609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.66695775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20343017578125 × 2 - 1) × π
    0.5931396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86340316203082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66695775} λ = -1.66695775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86340316203082))-π/2
    2×atan(6.44563502903049)-π/2
    2×1.41687965071306-π/2
    2.83375930142612-1.57079632675     		φ = 1.26296297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66695775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.509644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26296297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.362448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15381 KachelY 13332 -1.66695775 1.26296297 -95.509644 72.362448
    Oben rechts KachelX + 1 15382 KachelY 13332 -1.66686187 1.26296297 -95.504150 72.362448
    Unten links KachelX 15381 KachelY + 1 13333 -1.66695775 1.26293392 -95.509644 72.360783
    Unten rechts KachelX + 1 15382 KachelY + 1 13333 -1.66686187 1.26293392 -95.504150 72.360783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26296297-1.26293392) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dl = 185.07754999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26296297-1.26293392) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dr = 185.07754999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66695775--1.66686187) × cos(1.26296297) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.302994554974994 × 6371000     		do = 185.084672338295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66695775--1.66686187) × cos(1.26293392) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.303022239273087 × 6371000     		du = 185.101583332758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26296297)-sin(1.26293392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302994554974994-0.303022239273087)×R²
    abs(-1.66686187--1.66695775)×2.76842980932446e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.76842980932446e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.76842980932446e-05×40589641000000     		ar = 34256.5826240731m²