Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15379 / 8683
↖ ↑ ↗
← N 64.268454°
W 11.041260°		 ← 530.38 m → N 64.268454°
W 11.030274°		 →
↑
530.45 m
↓
↑
530.45 m
↓
N 64.263684°
W 11.041260°		 ← 530.47 m →
281 365 m²		 N 64.263684°
W 11.030274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469345092773438 y=0.264999389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469345092773438 × 215)
    floor (0.469345092773438 × 32768)
    floor (15379.5)     		tx = 15379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264999389648438 × 215)
    floor (0.264999389648438 × 32768)
    floor (8683.5)     		ty = 8683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15379 / 8683 ti = "15/15379/8683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15379/8683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15379 ÷ 215
    15379 ÷ 32768     		x = 0.469329833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8683 ÷ 215
    8683 ÷ 32768     		y = 0.264984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469329833984375 × 2 - 1) × π
    -0.06134033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19270634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264984130859375 × 2 - 1) × π
    0.47003173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47664825589621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19270634} λ = -0.19270634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47664825589621))-π/2
    2×atan(4.3782462991788)-π/2
    2×1.346246226449-π/2
    2.69249245289799-1.57079632675     		φ = 1.12169613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19270634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.041260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12169613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.268454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15379 KachelY 8683 -0.19270634 1.12169613 -11.041260 64.268454
    Oben rechts KachelX + 1 15380 KachelY 8683 -0.19251459 1.12169613 -11.030274 64.268454
    Unten links KachelX 15379 KachelY + 1 8684 -0.19270634 1.12161287 -11.041260 64.263684
    Unten rechts KachelX + 1 15380 KachelY + 1 8684 -0.19251459 1.12161287 -11.030274 64.263684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12169613-1.12161287) × R
    8.32599999998074e-05 × 6371000     		dl = 530.449459998773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12169613-1.12161287) × R
    8.32599999998074e-05 × 6371000     		dr = 530.449459998773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19270634--0.19251459) × cos(1.12169613) × R
    0.000191749999999991 × 0.434155132947841 × 6371000     		do = 530.380950998025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19270634--0.19251459) × cos(1.12161287) × R
    0.000191749999999991 × 0.434230135224891 × 6371000     		du = 530.472576723508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12169613)-sin(1.12161287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434155132947841-0.434230135224891)×R²
    abs(-0.19251459--0.19270634)×7.50022770498182e-05×R²
    0.000191749999999991×7.50022770498182e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.50022770498182e-05×40589641000000     		ar = 281364.59062086m²