Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15378 / 8684
↖ ↑ ↗
← N 64.263684°
W 11.052246°		 ← 530.44 m → N 64.263684°
W 11.041260°		 →
↑
530.51 m
↓
↑
530.51 m
↓
N 64.258913°
W 11.052246°		 ← 530.54 m →
281 432 m²		 N 64.258913°
W 11.041260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469314575195312 y=0.265029907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469314575195312 × 215)
    floor (0.469314575195312 × 32768)
    floor (15378.5)     		tx = 15378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265029907226562 × 215)
    floor (0.265029907226562 × 32768)
    floor (8684.5)     		ty = 8684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15378 / 8684 ti = "15/15378/8684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15378/8684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15378 ÷ 215
    15378 ÷ 32768     		x = 0.46929931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8684 ÷ 215
    8684 ÷ 32768     		y = 0.2650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.0614013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19289808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2650146484375 × 2 - 1) × π
    0.469970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47645650829773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19289808} λ = -0.19289808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47645650829773))-π/2
    2×atan(4.37740686144804)-π/2
    2×1.34620459875151-π/2
    2.69240919750301-1.57079632675     		φ = 1.12161287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19289808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12161287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.263684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15378 KachelY 8684 -0.19289808 1.12161287 -11.052246 64.263684
    Oben rechts KachelX + 1 15379 KachelY 8684 -0.19270634 1.12161287 -11.041260 64.263684
    Unten links KachelX 15378 KachelY + 1 8685 -0.19289808 1.12152960 -11.052246 64.258913
    Unten rechts KachelX + 1 15379 KachelY + 1 8685 -0.19270634 1.12152960 -11.041260 64.258913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12161287-1.12152960) × R
    8.32700000001907e-05 × 6371000     		dl = 530.513170001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12161287-1.12152960) × R
    8.32700000001907e-05 × 6371000     		dr = 530.513170001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19289808--0.19270634) × cos(1.12161287) × R
    0.000191739999999996 × 0.434230135224891 × 6371000     		do = 530.444911921608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19289808--0.19270634) × cos(1.12152960) × R
    0.000191739999999996 × 0.434305143499417 × 6371000     		du = 530.536540195066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12161287)-sin(1.12152960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434230135224891-0.434305143499417)×R²
    abs(-0.19270634--0.19289808)×7.50082745261671e-05×R²
    0.000191739999999996×7.50082745261671e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.50082745261671e-05×40589641000000     		ar = 281432.316900034m²