Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15377 / 8462
↖ ↑ ↗
← N 65.302650°
W 11.063232°		 ← 510.43 m → N 65.302650°
W 11.052246°		 →
↑
510.51 m
↓
↑
510.51 m
↓
N 65.298059°
W 11.063232°		 ← 510.52 m →
260 602 m²		 N 65.298059°
W 11.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469284057617188 y=0.258255004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469284057617188 × 215)
    floor (0.469284057617188 × 32768)
    floor (15377.5)     		tx = 15377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258255004882812 × 215)
    floor (0.258255004882812 × 32768)
    floor (8462.5)     		ty = 8462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15377 / 8462 ti = "15/15377/8462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15377/8462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15377 ÷ 215
    15377 ÷ 32768     		x = 0.469268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8462 ÷ 215
    8462 ÷ 32768     		y = 0.25823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.06146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19308983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25823974609375 × 2 - 1) × π
    0.4835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51902447516034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19308983} λ = -0.19308983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51902447516034))-π/2
    2×atan(4.56776705076062)-π/2
    2×1.35527129088376-π/2
    2.71054258176752-1.57079632675     		φ = 1.13974626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19308983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.063232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13974626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.302650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15377 KachelY 8462 -0.19308983 1.13974626 -11.063232 65.302650
    Oben rechts KachelX + 1 15378 KachelY 8462 -0.19289808 1.13974626 -11.052246 65.302650
    Unten links KachelX 15377 KachelY + 1 8463 -0.19308983 1.13966613 -11.063232 65.298059
    Unten rechts KachelX + 1 15378 KachelY + 1 8463 -0.19289808 1.13966613 -11.052246 65.298059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13974626-1.13966613) × R
    8.01299999999561e-05 × 6371000     		dl = 510.50822999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13974626-1.13966613) × R
    8.01299999999561e-05 × 6371000     		dr = 510.50822999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19308983--0.19289808) × cos(1.13974626) × R
    0.000191749999999991 × 0.417825047175989 × 6371000     		do = 510.431477263265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19308983--0.19289808) × cos(1.13966613) × R
    0.000191749999999991 × 0.417897846143613 × 6371000     		du = 510.520411339473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13974626)-sin(1.13966613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417825047175989-0.417897846143613)×R²
    abs(-0.19289808--0.19308983)×7.27989676237439e-05×R²
    0.000191749999999991×7.27989676237439e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.27989676237439e-05×40589641000000     		ar = 260602.170921511m²