Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15373 / 8676
↖ ↑ ↗
← N 64.301822°
W 11.107178°		 ← 529.74 m → N 64.301822°
W 11.096191°		 →
↑
529.75 m
↓
↑
529.75 m
↓
N 64.297058°
W 11.107178°		 ← 529.83 m →
280 653 m²		 N 64.297058°
W 11.096191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469161987304688 y=0.264785766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469161987304688 × 215)
    floor (0.469161987304688 × 32768)
    floor (15373.5)     		tx = 15373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264785766601562 × 215)
    floor (0.264785766601562 × 32768)
    floor (8676.5)     		ty = 8676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15373 / 8676 ti = "15/15373/8676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15373/8676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15373 ÷ 215
    15373 ÷ 32768     		x = 0.469146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8676 ÷ 215
    8676 ÷ 32768     		y = 0.2647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.06170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19385682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2647705078125 × 2 - 1) × π
    0.470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47799048908557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19385682} λ = -0.19385682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47799048908557))-π/2
    2×atan(4.38412687234013)-π/2
    2×1.34653741906822-π/2
    2.69307483813644-1.57079632675     		φ = 1.12227851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19385682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.107178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12227851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.301822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15373 KachelY 8676 -0.19385682 1.12227851 -11.107178 64.301822
    Oben rechts KachelX + 1 15374 KachelY 8676 -0.19366507 1.12227851 -11.096191 64.301822
    Unten links KachelX 15373 KachelY + 1 8677 -0.19385682 1.12219536 -11.107178 64.297058
    Unten rechts KachelX + 1 15374 KachelY + 1 8677 -0.19366507 1.12219536 -11.096191 64.297058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12227851-1.12219536) × R
    8.31499999998098e-05 × 6371000     		dl = 529.748649998788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12227851-1.12219536) × R
    8.31499999998098e-05 × 6371000     		dr = 529.748649998788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19385682--0.19366507) × cos(1.12227851) × R
    0.000191750000000018 × 0.433630429247067 × 6371000     		do = 529.739952362616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19385682--0.19366507) × cos(1.12219536) × R
    0.000191750000000018 × 0.433705353448926 × 6371000     		du = 529.831482708381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12227851)-sin(1.12219536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433630429247067-0.433705353448926)×R²
    abs(-0.19366507--0.19385682)×7.49242018582286e-05×R²
    0.000191750000000018×7.49242018582286e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.49242018582286e-05×40589641000000     		ar = 280653.268814598m²