Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 15373 / 19463
↖ ↑ ↗
← N 58.793825°
W 95.553589°		 ← 316.49 m → N 58.793825°
W 95.548095°		 →
↑
316.51 m
↓
↑
316.51 m
↓
N 58.790978°
W 95.553589°		 ← 316.52 m →
100 178 m²		 N 58.790978°
W 95.548095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234580993652344 y=0.296989440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234580993652344 × 216)
    floor (0.234580993652344 × 65536)
    floor (15373.5)     		tx = 15373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296989440917969 × 216)
    floor (0.296989440917969 × 65536)
    floor (19463.5)     		ty = 19463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15373 / 19463 ti = "16/15373/19463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15373/19463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15373 ÷ 216
    15373 ÷ 65536     		x = 0.234573364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19463 ÷ 216
    19463 ÷ 65536     		y = 0.296981811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234573364257812 × 2 - 1) × π
    -0.530853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.66772474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296981811523438 × 2 - 1) × π
    0.406036376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27560089888969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66772474} λ = -1.66772474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27560089888969))-π/2
    2×atan(3.5808524940327)-π/2
    2×1.29847107326302-π/2
    2.59694214652603-1.57079632675     		φ = 1.02614582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66772474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.553589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02614582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.793825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15373 KachelY 19463 -1.66772474 1.02614582 -95.553589 58.793825
    Oben rechts KachelX + 1 15374 KachelY 19463 -1.66762886 1.02614582 -95.548095 58.793825
    Unten links KachelX 15373 KachelY + 1 19464 -1.66772474 1.02609614 -95.553589 58.790978
    Unten rechts KachelX + 1 15374 KachelY + 1 19464 -1.66762886 1.02609614 -95.548095 58.790978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02614582-1.02609614) × R
    4.96800000000519e-05 × 6371000     		dl = 316.511280000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02614582-1.02609614) × R
    4.96800000000519e-05 × 6371000     		dr = 316.511280000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66772474--1.66762886) × cos(1.02614582) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.518119197671757 × 6371000     		do = 316.493878713998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66772474--1.66762886) × cos(1.02609614) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.518161688754766 × 6371000     		du = 316.519834454941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02614582)-sin(1.02609614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518119197671757-0.518161688754766)×R²
    abs(-1.66762886--1.66772474)×4.2491083009466e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.2491083009466e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.2491083009466e-05×40589641000000     		ar = 100177.9903268m²