Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15373 / 10196
↖ ↑ ↗
← N 56.047500°
W 11.107178°		 ← 682.29 m → N 56.047500°
W 11.096191°		 →
↑
682.40 m
↓
↑
682.40 m
↓
N 56.041363°
W 11.107178°		 ← 682.40 m →
465 632 m²		 N 56.041363°
W 11.096191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469161987304688 y=0.311172485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469161987304688 × 215)
    floor (0.469161987304688 × 32768)
    floor (15373.5)     		tx = 15373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311172485351562 × 215)
    floor (0.311172485351562 × 32768)
    floor (10196.5)     		ty = 10196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15373 / 10196 ti = "15/15373/10196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15373/10196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15373 ÷ 215
    15373 ÷ 32768     		x = 0.469146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10196 ÷ 215
    10196 ÷ 32768     		y = 0.3111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.06170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19385682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3111572265625 × 2 - 1) × π
    0.377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18653413939563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19385682} λ = -0.19385682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18653413939563))-π/2
    2×atan(3.27570836185612)-π/2
    2×1.27450486600734-π/2
    2.54900973201467-1.57079632675     		φ = 0.97821341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19385682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.107178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97821341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.047500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15373 KachelY 10196 -0.19385682 0.97821341 -11.107178 56.047500
    Oben rechts KachelX + 1 15374 KachelY 10196 -0.19366507 0.97821341 -11.096191 56.047500
    Unten links KachelX 15373 KachelY + 1 10197 -0.19385682 0.97810630 -11.107178 56.041363
    Unten rechts KachelX + 1 15374 KachelY + 1 10197 -0.19366507 0.97810630 -11.096191 56.041363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97821341-0.97810630) × R
    0.000107109999999966 × 6371000     		dl = 682.397809999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97821341-0.97810630) × R
    0.000107109999999966 × 6371000     		dr = 682.397809999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19385682--0.19366507) × cos(0.97821341) × R
    0.000191750000000018 × 0.558505415293066 × 6371000     		do = 682.292136659625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19385682--0.19366507) × cos(0.97810630) × R
    0.000191750000000018 × 0.558594259927841 × 6371000     		du = 682.400672752618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97821341)-sin(0.97810630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558505415293066-0.558594259927841)×R²
    abs(-0.19366507--0.19385682)×8.88446347754313e-05×R²
    0.000191750000000018×8.88446347754313e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.88446347754313e-05×40589641000000     		ar = 465631.692678359m²