Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15372 / 8459
↖ ↑ ↗
← N 65.316417°
W 11.118164°		 ← 510.16 m → N 65.316417°
W 11.107178°		 →
↑
510.19 m
↓
↑
510.19 m
↓
N 65.311829°
W 11.118164°		 ← 510.25 m →
260 303 m²		 N 65.311829°
W 11.107178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469131469726562 y=0.258163452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469131469726562 × 215)
    floor (0.469131469726562 × 32768)
    floor (15372.5)     		tx = 15372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258163452148438 × 215)
    floor (0.258163452148438 × 32768)
    floor (8459.5)     		ty = 8459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15372 / 8459 ti = "15/15372/8459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15372/8459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15372 ÷ 215
    15372 ÷ 32768     		x = 0.4691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8459 ÷ 215
    8459 ÷ 32768     		y = 0.258148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19404857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258148193359375 × 2 - 1) × π
    0.48370361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51959971795578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19404857} λ = -0.19404857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51959971795578))-π/2
    2×atan(4.57039538173957)-π/2
    2×1.35539143491018-π/2
    2.71078286982037-1.57079632675     		φ = 1.13998654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19404857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13998654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.316417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15372 KachelY 8459 -0.19404857 1.13998654 -11.118164 65.316417
    Oben rechts KachelX + 1 15373 KachelY 8459 -0.19385682 1.13998654 -11.107178 65.316417
    Unten links KachelX 15372 KachelY + 1 8460 -0.19404857 1.13990646 -11.118164 65.311829
    Unten rechts KachelX + 1 15373 KachelY + 1 8460 -0.19385682 1.13990646 -11.107178 65.311829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13998654-1.13990646) × R
    8.00800000000379e-05 × 6371000     		dl = 510.189680000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13998654-1.13990646) × R
    8.00800000000379e-05 × 6371000     		dr = 510.189680000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19404857--0.19385682) × cos(1.13998654) × R
    0.000191749999999991 × 0.417606734127387 × 6371000     		do = 510.164777474306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19404857--0.19385682) × cos(1.13990646) × R
    0.000191749999999991 × 0.417679495708541 × 6371000     		du = 510.253665877735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13998654)-sin(1.13990646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417606734127387-0.417679495708541)×R²
    abs(-0.19385682--0.19404857)×7.27615811536575e-05×R²
    0.000191749999999991×7.27615811536575e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.27615811536575e-05×40589641000000     		ar = 260303.479678868m²