Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15372 / 10197
↖ ↑ ↗
← N 56.041363°
W 11.118164°		 ← 682.40 m → N 56.041363°
W 11.107178°		 →
↑
682.40 m
↓
↑
682.40 m
↓
N 56.035226°
W 11.118164°		 ← 682.51 m →
465 706 m²		 N 56.035226°
W 11.107178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469131469726562 y=0.311203002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469131469726562 × 215)
    floor (0.469131469726562 × 32768)
    floor (15372.5)     		tx = 15372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311203002929688 × 215)
    floor (0.311203002929688 × 32768)
    floor (10197.5)     		ty = 10197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15372 / 10197 ti = "15/15372/10197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15372/10197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15372 ÷ 215
    15372 ÷ 32768     		x = 0.4691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10197 ÷ 215
    10197 ÷ 32768     		y = 0.311187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19404857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311187744140625 × 2 - 1) × π
    0.37762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18634239179715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19404857} λ = -0.19404857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18634239179715))-π/2
    2×atan(3.27508031285978)-π/2
    2×1.27445131571239-π/2
    2.54890263142479-1.57079632675     		φ = 0.97810630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19404857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97810630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.041363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15372 KachelY 10197 -0.19404857 0.97810630 -11.118164 56.041363
    Oben rechts KachelX + 1 15373 KachelY 10197 -0.19385682 0.97810630 -11.107178 56.041363
    Unten links KachelX 15372 KachelY + 1 10198 -0.19404857 0.97799919 -11.118164 56.035226
    Unten rechts KachelX + 1 15373 KachelY + 1 10198 -0.19385682 0.97799919 -11.107178 56.035226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97810630-0.97799919) × R
    0.000107109999999966 × 6371000     		dl = 682.397809999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97810630-0.97799919) × R
    0.000107109999999966 × 6371000     		dr = 682.397809999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19404857--0.19385682) × cos(0.97810630) × R
    0.000191749999999991 × 0.558594259927841 × 6371000     		do = 682.400672752519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19404857--0.19385682) × cos(0.97799919) × R
    0.000191749999999991 × 0.558683098154115 × 6371000     		du = 682.509201016636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97810630)-sin(0.97799919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558594259927841-0.558683098154115)×R²
    abs(-0.19385682--0.19404857)×8.88382262735909e-05×R²
    0.000191749999999991×8.88382262735909e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.88382262735909e-05×40589641000000     		ar = 465705.754798975m²