Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15371 / 8691
↖ ↑ ↗
← N 64.230269°
W 11.129151°		 ← 531.11 m → N 64.230269°
W 11.118164°		 →
↑
531.15 m
↓
↑
531.15 m
↓
N 64.225493°
W 11.129151°		 ← 531.21 m →
282 126 m²		 N 64.225493°
W 11.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469100952148438 y=0.265243530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469100952148438 × 215)
    floor (0.469100952148438 × 32768)
    floor (15371.5)     		tx = 15371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265243530273438 × 215)
    floor (0.265243530273438 × 32768)
    floor (8691.5)     		ty = 8691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15371 / 8691 ti = "15/15371/8691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15371/8691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15371 ÷ 215
    15371 ÷ 32768     		x = 0.469085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8691 ÷ 215
    8691 ÷ 32768     		y = 0.265228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.06182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19424032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265228271484375 × 2 - 1) × π
    0.46954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47511427510837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19424032} λ = -0.19424032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47511427510837))-π/2
    2×atan(4.37153530205772)-π/2
    2×1.34591300347238-π/2
    2.69182600694476-1.57079632675     		φ = 1.12102968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19424032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.129151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12102968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.230269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15371 KachelY 8691 -0.19424032 1.12102968 -11.129151 64.230269
    Oben rechts KachelX + 1 15372 KachelY 8691 -0.19404857 1.12102968 -11.118164 64.230269
    Unten links KachelX 15371 KachelY + 1 8692 -0.19424032 1.12094631 -11.129151 64.225493
    Unten rechts KachelX + 1 15372 KachelY + 1 8692 -0.19404857 1.12094631 -11.118164 64.225493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12102968-1.12094631) × R
    8.3370000000027e-05 × 6371000     		dl = 531.150270000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12102968-1.12094631) × R
    8.3370000000027e-05 × 6371000     		dr = 531.150270000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19424032--0.19404857) × cos(1.12102968) × R
    0.000191749999999991 × 0.434755400053032 × 6371000     		do = 531.11426085421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19424032--0.19404857) × cos(1.12094631) × R
    0.000191749999999991 × 0.434830477277033 × 6371000     		du = 531.205978137831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12102968)-sin(1.12094631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434755400053032-0.434830477277033)×R²
    abs(-0.19404857--0.19424032)×7.50772240012965e-05×R²
    0.000191749999999991×7.50772240012965e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.50772240012965e-05×40589641000000     		ar = 282125.841047369m²