Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15371 / 10195
↖ ↑ ↗
← N 56.053635°
W 11.129151°		 ← 682.18 m → N 56.053635°
W 11.118164°		 →
↑
682.21 m
↓
↑
682.21 m
↓
N 56.047500°
W 11.129151°		 ← 682.29 m →
465 427 m²		 N 56.047500°
W 11.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469100952148438 y=0.311141967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469100952148438 × 215)
    floor (0.469100952148438 × 32768)
    floor (15371.5)     		tx = 15371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311141967773438 × 215)
    floor (0.311141967773438 × 32768)
    floor (10195.5)     		ty = 10195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15371 / 10195 ti = "15/15371/10195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15371/10195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15371 ÷ 215
    15371 ÷ 32768     		x = 0.469085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10195 ÷ 215
    10195 ÷ 32768     		y = 0.311126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.06182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19424032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311126708984375 × 2 - 1) × π
    0.37774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18672588699411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19424032} λ = -0.19424032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18672588699411))-π/2
    2×atan(3.27633653129089)-π/2
    2×1.27455840778552-π/2
    2.54911681557104-1.57079632675     		φ = 0.97832049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19424032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.129151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97832049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.053635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15371 KachelY 10195 -0.19424032 0.97832049 -11.129151 56.053635
    Oben rechts KachelX + 1 15372 KachelY 10195 -0.19404857 0.97832049 -11.118164 56.053635
    Unten links KachelX 15371 KachelY + 1 10196 -0.19424032 0.97821341 -11.129151 56.047500
    Unten rechts KachelX + 1 15372 KachelY + 1 10196 -0.19404857 0.97821341 -11.118164 56.047500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97832049-0.97821341) × R
    0.000107080000000037 × 6371000     		dl = 682.206680000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97832049-0.97821341) × R
    0.000107080000000037 × 6371000     		dr = 682.206680000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19424032--0.19404857) × cos(0.97832049) × R
    0.000191749999999991 × 0.558416589137628 × 6371000     		do = 682.183623141617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19424032--0.19404857) × cos(0.97821341) × R
    0.000191749999999991 × 0.558505415293066 × 6371000     		du = 682.292136659526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97832049)-sin(0.97821341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558416589137628-0.558505415293066)×R²
    abs(-0.19404857--0.19424032)×8.88261554373715e-05×R²
    0.000191749999999991×8.88261554373715e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.88261554373715e-05×40589641000000     		ar = 465427.239461242m²