Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1537 / 2531
↖ ↑ ↗
← S 39.027719°
W 44.912109°		 ← 7 592.06 m → S 39.027719°
W 44.824219°		 →
↑
7 588.43 m
↓
↑
7 588.43 m
↓
S 39.095963°
W 44.912109°		 ← 7 584.73 m →
57 584 030 m²		 S 39.095963°
W 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3753662109375 y=0.6180419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3753662109375 × 212)
    floor (0.3753662109375 × 4096)
    floor (1537.5)     		tx = 1537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6180419921875 × 212)
    floor (0.6180419921875 × 4096)
    floor (2531.5)     		ty = 2531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1537 / 2531 ti = "12/1537/2531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1537/2531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1537 ÷ 212
    1537 ÷ 4096     		x = 0.375244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2531 ÷ 212
    2531 ÷ 4096     		y = 0.617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.23583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740912720527588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78386418} λ = -0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740912720527588))-π/2
    2×atan(0.476678642527856)-π/2
    2×0.444817066753516-π/2
    0.889634133507032-1.57079632675     		φ = -0.68116219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68116219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.027719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1537 KachelY 2531 -0.78386418 -0.68116219 -44.912109 -39.027719
    Oben rechts KachelX + 1 1538 KachelY 2531 -0.78233020 -0.68116219 -44.824219 -39.027719
    Unten links KachelX 1537 KachelY + 1 2532 -0.78386418 -0.68235328 -44.912109 -39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 1538 KachelY + 1 2532 -0.78233020 -0.68235328 -44.824219 -39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68116219--0.68235328) × R
    0.00119108999999995 × 6371000     		dl = 7588.43438999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68116219--0.68235328) × R
    0.00119108999999995 × 6371000     		dr = 7588.43438999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78386418--0.78233020) × cos(-0.68116219) × R
    0.00153398000000005 × 0.776841416822776 × 6371000     		do = 7592.0607413974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78386418--0.78233020) × cos(-0.68235328) × R
    0.00153398000000005 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 7584.72537395165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68116219)-sin(-0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776841416822776-0.776090840999745)×R²
    abs(-0.78233020--0.78386418)×0.000750575823030508×R²
    0.00153398000000005×0.000750575823030508×6371000²
    0.00153398000000005×0.000750575823030508×40589641000000     		ar = 57584029.6515385m²